lineare Unabhängigkeit von 2 Abbildungen

Question

Aufgabe:

Gegeben sei folgender ℝ-Vektorraum Abb(ℝ)={ƒ| ƒ:ℝ→ℝ} zeigen Sie, dass die Abbildungen f(x)= x und g(x)=x^2 linear unabhängig sind.

Problem/Ansatz:

Wie ich die Lineare Unabhängigkeit von Vektoren beweise ist mir klar. 

Aber ich weiß nicht wie ich das mit 2 Abbildungen beweisen soll. Wäre sehr dankbar wenn ihr mir weiterhelfen könnt.

Answer 1

wie immer:

Ansatz : Seien a,b aus ℝ mit a*f + b*g = 0-Abbildung.

Dann musst du zeigen   a=b=0.

Das sieht man wohl so ein:

Dann gilt für alle x∈ℝ    a*x + b*x^2  = 0

   also insbesondere für x=1 und x=-1

also                       a*1+b*1 = 0   und 
                             a*(-1) + b*1 = 0

und das Gl.system hat nur die Lösung a=b=0.

Comments

Wieso reicht es, zu zeigen, dass das Gleichungssystem für x = 1 und x = -1 die Lösung a = b = 0 hat? Müsste das nicht für alle x gezeigt werden?

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wenn es für alle x gilt, gilt es insbesondere für

x=1 und x=-1. Wenn daraus schon a=b=0 folgt,

reicht das doch schon.