Die Normalengleichung und Parametergleichung bestimmen

Question

Wie kommt man auf dieses Resultat unten im roten Kasten? Dies sind die Resultate von meinem Lehrer aber ich verstehe nicht wie er auf das kommt?

Comments

hallo

es wurde oben das Kreuzprodukt der 2 Reichtungsvektoren ausgerechnet, der normalenvektor ist damit (20,4,5)  oder auch sein negatives.

Gruß lul

Answer 1

Du brauchst ja einen Vektor, der auf beiden Richtungsvektoren der

Ebene senkrecht steht.

Das geht sowohl mit dem Kreuzprodukt, als auch über einen

Ansatz mit dem Skalarprodukt, etwa

-1*a + 5*b + 0*c =0 und  -1*a + 0*b + 4*c =0

eine mögliche (von 0 verschiedene)  Lösung ist  (20;4;5) .

Und dann einfach noch einen Punkt der Ebene, da hat dein

Lehrer (1 ;-5 ; -4 ) genommen und sich dabei wohl vertan,

das hätte wohl ( 3 ; -5 ; -4 ) heißen müssen.

Answer 2

Weil euer Lehrer euch verwirren will

Ist die Ebenengleichung

E: X = P + r·PR + s·PS = [1, 0, 0] + r·[-1, 5, 0] + s·[-1, 0, 4]

Dann kann die Normalenform so lauten

E: (X - P)·(PR x PS) = 0 also
E: (X - [1, 0, 0])·[20, 4, 5] = 0

Warum er hier einen anderen Ortsvektor ist bedenklich. Der Punkt [1, -5, -4] gehört zudem nicht zur Ebene. Das wäre der Vektor [1, 5, -4].

Den Normalenvektor kann man aber zur Vereinfachung durch einen Faktor teilen oder mit einem Faktor multiplizieren damit er einfacher wird. Hier wurde er mit -1 multipliziert.

Ebenso bedenklich ist aber auch das vorher die drei Richtungsvektoren

PR = [0, 5, 0] - [1, 0, 0] = [-1, 5, 0]
SR = [0, 5, 0] - [0, 0, 4] = [0, 5, -4]
PS = [0, 0, 4] - [1, 0, 0] = [-1, 0, 4]

der Ebene bestimmt worden waren obwohl nachher nur PS und PR gebraucht werden.