Die Höhe einer Kletterpflanze in Metern berechnen.

Question

Aufgabe:

Die Höhe einer Kletterpflanze (in Metern) zur Zeit t (in Wochen seit Beobachtungsbeginn) wird näherungsweise durch die Funktion h mit h(t)= 0,02·e ^k·t   beschrieben.

a) Wie hoch ist die Pflanze zu Beobachtungsbeginn

b) Nach sechs Wochen ist die Pflanze 40cm hoch. Bestimmen Sie k.

c) Wie hoch ist die Pflanze nach neun Wochen?

d) Wann ist die Pflanze drei Meter hoch?

e) Wann wächst sie in einer Woche um 150cm?

f) Wann ist die momentane Wachstumsrate 1 \( \frac{m}{Woche} \)

g) Für t ≥ 9 wird das Wachstum der Pflanze besser durch

 k(t) = 3,5 - 8,2 e^-0,175t   beschrieben. Wann ist nach dieser Modellierung die Pflanze 3m hoch? Wann wächst sie in einer Woche 20cm?

Problem/Ansatz:

Ich schreibe am Dienstag eine Klausur und da wird Analysis auch dabei sein. Da ich meinen Lehrer nicht mehr sehen werde, wollte ich fragen, ob diese Ansätze richtig sind.

a) h(0) = 0,02 · e^k·0 = 0,02

b) solve(0,4=0,02 · e^k·6  , k) = \( \frac{ln(20}{6} \)

c) h(9) = 0,02 · e ^{\( \frac{ln(20)}{6} \) ·9}   = \( \frac{4·\sqrt{5}}{5} \)

d) solve(3=0,02·e ^{\( \frac{ln(20)}{6} \) ·t}  , t) = 10,035....

e) Ableitung gebildet: h'(t) = \( \frac{ln(20)·20  hoch x  durch  6 }{300} \)

solve(1,5=h'(t),t) = 10,0383....

f) zweite ableitung gebildet

h''(t) = (ln(20))²*20^x/6  / 1800

Die habe ich die zweite Ableitung = 1 gesetzt und solve benutzt.

Raus kam: t= 10,61743.....

g)

k(t)= 3 gesetzt und nach t aufgelöst. raus kaum : t=15,984....

und die Ableitung gebildet.

k'(t)= 287* ^{e^-7*x/40}  / 200

und dies dann gleich 0,2 gesetzt.

k'(t)= 0,2 und nach t aufgelöst und raus kam

t=11,2605.....

Ich hoffe ich habe alles richtig gemacht, da die Klausur bald vor der Tür ist.
Schönen Abend noch.

Comments

Schau mal hier:

https://www.mathelounge.de/154525/hohe-einer-kletterpflanze-beschrieben-wachst-einer-woche

a) - d) sind richtig.

Answer 1

Bei Anwendungsaufgaben lässt du keine Ergebnisse wie ln(20)/6 stehen. Da steht der Anwendungsbezug im Fordergrund. Du solltest also neben dem Exakten Ergebnis auch immer die Dezimalzahl hinschreiben. Ebenso gehören die Einheiten an das Ergebnis, wenn schon kein Antwortsatz geschrieben wird.

a) Wie hoch ist die Pflanze zu Beobachtungsbeginn?

h(0) = 0.02 m = 2 cm

b) Nach sechs Wochen ist die Pflanze 40 cm hoch. Bestimmen Sie k.

h(6) = 0.02·e^(6·k) = 0.4 → k = 0.4993

c) Wie hoch ist die Pflanze nach neun Wochen?

h(9) = 0.02·e^(0.4993·9) = 1.789 m

d) Wann ist die Pflanze drei Meter hoch?

h(t) = 0.02·e^(0.4993·t) = 3 → t = 10.04 Wochen

e) Wann wächst sie in einer Woche um 150 cm?

h(t + 1) - h(t) = 0.02·e^(0.4993·(t + 1)) - 0.02·e^(0.4993·t) = 1.5 → t = 9.517 Wochen

f) Wann ist die momentane Wachstumsrate 1 m/Woche?

h'(t) = 0.02·0.4993·e^(0.4993·t) = 1 → t = 9.226 Wochen

g) Für t ≥ 9 wird das Wachstum der Pflanze besser durch k(t) = 3.5 - 8.2·e^(- 0.175·t) beschrieben. Wann ist nach dieser Modellierung die Pflanze 3 m hoch? Wann wächst sie in einer Woche 20 cm?

k(t) = 3.5 - 8.2·e^(- 0.175·t) = 3 → t = 15.98 Wochen

k(t + 1) - k(t) = (3.5 - 8.2·e^(- 0.175·(t + 1))) - (3.5 - 8.2·e^(- 0.175·t)) = 0.2 → t = 10.77 Wochen

Comments

Vielen Dank. Hmm anscheinend muss ich bisschen weiter büffeln. Danke :)

Answer 2

Hallo

a bis d sind richtig,

e) dein h' kann ich nicht lesen, eigentlich hast du falls h' richtig die  Zeit für die momentane Anderungsrate 1,5m/Woche berechnet was beinahe in der Woche davor + danach passiert

also nach der 9 einhalten Woche.

f) zweite Ableitung wäre ja die Änderung der Änderung hier die Rechnung wie in e) also ist f falsch.

g1. ist richtig, die 0,2m/Woche ist richtig in der  zwölften Woche. denn man kann nicht sagen nach 10 Wochen und 1Tag wächst die 0,2m, eigentlich müsste man rechnen wann ist f(t2)-f(t1)=0,2 aber f(t2)≈f(t1)+f'(t1)*(t2-t1)  und t2-t1=1Woche

Aber vielleicht meint dein L die momentane Rate? frag nach!

Gruß lul

Answer 3

e.) Wann wächst sie in einer Woche um 150cm?
f ( x ) : Höhe Beginn
f ( x + 1 ) : Höhe 1 Woche später
f ( x +1 ) - f ( x ) = 1.5
x = 9.52
x + 1 = 10.52

f.)
1.Ableitung = Wachstumsrate ( Einheit ansehen )
h ´ ( t ) = 1 m / Woche
t = 9.23 Woche

g.)
k ( t ) = 3
t = 15.98 Wochen

k ( x +1 ) - k ( x ) = 0.2
x = 10.77
x + 1 = 11.77