k(t) = 3,5 - 8,2 • e^{-0,175t}. Wann ist die Kletterpflanze 3m hoch?

Question

aufgabe in Fragestellung unten bitte bitte e antworten

Die Höhe einer Kletterpflanze (in Metern) zur zeit t (in Wochen seit Beobachtungsbeginn) wird Näherungsweise durch die Funktion h mit h (t) = 0, 02 • e^kt beschrieben.

a) wie hoch ist die Pflanze zu Beobachtungsbeginn
b) nach sechs Wochen ist die Pflanze 40cm hoch. Bestimme k.
c) wie hoch ist die Pflanze nach neun Wochen?
d) wann ist die Pflanze drei Meter hoch?
e) für t > 9 wird das Wachstum der Pflanze besser durch k (t) = 3,5 - 8,2 • e^{-0,175t} beschrieben. Wann ist nach dieser Modellierung die Pflanze 3m hoch?

Comments

Habe bei k(t) das t auch im Text so eingefügt.

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ja, ist richtig.

Answer 1

a) h ( 0 ) = 0,02 * e ^k*0 = 0,02 * 1 = 0,02 m = 2 cm

 

b) h ( 6 ) = 0,02 * e ^k*6 = 40

<=> e ^k*6 = 40 / 0,02 = 2000

<=> k * 6 = ln ( 2000 )

<=> k = ln ( 2000 ) / 6 = 1,266817...

 

c) h ( 9 ) =  0,02 * e ^{1,266817 * 9} = 0,64 (gerundet) = 64 cm

 

d) k (t) = 3,5 - 8,2 • e^-0,175t = 3

<=>  - 8,2 • e^-0,175t = - 0,5

<=> e^-0,175t = - 0,5 / -8,2

<=> -0,175 t = ln ( - 0,5 / -8,2 )

<=> t = ln ( - 0,5 / -8,2 ) / -0,175 = 16 (gerundet)

Die Pflanze ist nach 16 Wochen 3 Meter hoch.

Comments

und was ist mit dem aufgabenteil e?

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Ooops? Der ist verschwunden. Ich schwöre, dass ich auch dafür die Lösung hingeschrieben hatte ...


Edit: Nein, Teil e) habe ich unter d  behandelt, sorry. Es fehlt also Teil d).

Ich schaue mir das Ganze morgen früh noch einmal an, ok?

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mir kam der Faktor k , den ich in Teil b) bestimmt hatte, gleich ein wenig zu hoch vor. Der Fehler, den ich begangen habe, war, dass ich in Teil b) die Funktion h ( 6 ) = 40 gesetzt habe. Da aber h die Höhe der Pflanze in Metern angibt, habe ich somit den Faktor k für den Fall berechnet, dass die Pflanze nach 6 Wochen 40 Meter hoch ist.  Die Pflanze sollte nach 6 Wochen aber nur 40 Zentimeter = 0,4 m hoch sein. Ich hätte also h ( 6 ) = 0,4 m setzen sollen. Hier nun die korrekte Berechnung:

b) h ( 6 ) = 0,02 * e ^{k * 6} = 0,4

<=> e ^{k * 6} = 0,4 / 0,02 = 20

<=> k * 6 = ln ( 20 )

<=> k = ln ( 20 ) / 6 = 0,499289

 

c) Den Unsinn, den ich dann bei Teil c) gerechnet habe, kann ich mir nur mit einem Vertipper auf dem Taschenrechner erklären. Mit dem falschen Faktor k hätte hier eine Höhe von 1789 Metern herauskommen müssen. Bei solch einem Ergebnis hätte ich dann sicher sofort einen Fehler vermutet. Das falsch berechnete Ergebnis 64 cm schien mir jedoch in einem annehmbaren Bereich zu liegen, deshalb schöpfte ich keinen Verdacht.  

Korrekt ist es aber so:

c) h ( 9 ) =  0,02 * e ^{0,499289 * 9} = 1,78 m (gerundet)

Nach 9 Wochen ist die Pflanze also 1,78 m groß.

 

d) Nun noch der verschwundene Teil d)

h ( t ) = 0,02 * e ^{0,499289 * t} = 3

<=> e ^{0,499289 * t} = 3 / 0,02 = 150

<=> 0,499289 * t = ln ( 150 )

<=> t = ln ( 150 ) / 0,499289

<=> t = 10,04

Also: Nach ein paar Stunden mehr als 10 Wochen erreicht die Pflanze eine Höhe von 3 Metern.

 

Den korrekt berechneten Teil e) findest du in meiner Antwort unter d)

 

Hier noch das Schaubild der beiden Funktionen (oberes Bild). Man erkennt, wie das exponentielle Wachstum (blaue Kurve) bei t = 9 in ein nach oben beschränktes Wachstum übergeht (rote Kurve).

https://www.wolframalpha.com/input/?i=0.02*e%5E%280.499289*t%29+%2C+3.5-8.2*e%5E%28-0%2C175*t%29+from0to16

 

Für die vielen Fehler bitte ich um Entschuldigung und wünsche noch einen schönen Tag :-)