E-Funktion p(t) = 80+120t× e^-0.5

Question

Aufgabe:

Pulsmessung

Während des Trainings absolviert eine Sportlerin ein festes Laufprogramm. Dabei wird die Pulsfrequenz gemessen. Sie kann durch p(t)= 80+120t × e^-0.5t beschrieben werden, wobei t die Zeit in Minuten ist.

a) Welchen Puls hat der Läufer nach einer Minute?

b) Berechnen Sie die Ableitung von p. Kontrollergebnis: p'(t) = (120 - 60t) e^-0,5t

c) Wann erreicht der Puls seinen höchsten Wert? Wie hoch ist der maximale Puls?

d) Wie groß ist die Anderungsrate des Pulses zum Zeitpunkt t=3?

e) Wann verringert sich der Puls am stärksten?

Problem/Ansatz:

Bei a) habe ich schonmal p(1) = 80+120t × e^-0.5*1=152,78

Wie muss ich bei den anderen Aufgaben vorangehen?

Answer 1

Während des Trainings absolviert eine Sportlerin ein festes Laufprogramm. Dabei wird die Pulsfrequenz gemessen. Sie kann durch p(t)= 80+120t • \( e^{-0,5t} \) beschrieben werden, wobei t die Zeit in Minuten ist.

p(t)= 80+120t • \( e^{-0,5t} \)

a) Welchen Puls hat der Läufer nach einer Minute?

p(1)= 80+120•1 • \( e^{-0,5*1} \)= 80+120 • \( e^{-0,5} \)≈152,78

b) Berechnen Sie die Ableitung von p.

p´(t)= 120• \( e^{-0,5t} \) +120t • \( e^{-0,5t} \)•(-0,5)

p´(t)=120• \( e^{-0,5t} \) -60t • \( e^{-0,5t} \) =\( e^{-0,5t} \)•(120-60t)

c) Wann erreicht der Puls seinen höchsten Wert?

\( e^{-0,5t} \)•(120-60t)=0    \( e^{-0,5t} \) kann nicht 0 werden

(120-60t)=0    t=2

Wie hoch ist der maximale Puls?

p(2)= 80+120*2• \( e^{-0,5*2} \)=80+240• \( e^{-1} \)≈168,29

d) Wie groß ist die Änderungsrate des Pulses zum Zeitpunkt t=3?

p´(3)= 120• \( e^{-0,5•3} \) +120•3 • \( e^{-0,5•3} \)•(-0,5)

p´(3)= 120• \( e^{-1,5} \) -180• \( e^{-1,5} \)≈13,38

e) Wann verringert sich der Puls am stärksten?

2. Ableitung =0

Answer 2

Die in der Aufgabe b) geforderte Ableitung findest du mit den dir hoffentlich bekannten Ableitungsregeln (hervorzuheben sind die Produkt- und die Kettenregel).