Basis-Eigenschaft zeigen oder widerlegen.

Question

Wenn (v,w) eine Basis des K-Vektorraumes K² ist, ist auch (v+w, v-w) eine Basis?

Also ich kann nicht zu recht auf die Lösung komme. Ich bitte um eure Hilfe

Vielen Dank

Comments

Vom Duplikat:

Titel: Charakterisierung Körper

Stichworte: basis,körper

Charakterisieren sie die Körper, in denen folgende Aussage wahr ist: Wenn (v,w) eine Basis des K-Vektorraums K^2 ist, ist auch (v+w, v-w) eine Basis.

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Was hältst du davon, die Überschrift von "Charakterisierung Körper" in "Charakteristik Körper" zu ändern ?

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@sar15: Ist https://www.mathelounge.de/630471/untervektorraum-beweisen eigentlich erledigt? Willst du für die Nachwelt eine Antwort / Erklärung hinterlassen? Es gibt dort noch eine Frage an dich.

Answer 1

Du kannst dich ja hier nur zwischen zwei Aussagen entscheiden: wahr oder falsch.

Wenn du im Vornherein sagst: Das muss so sein! Dann musst du zeigen, dass die Familie (v+w,v-w) ein linear unabhängiges Erzeugendensystem von K² ist, also auch eine Basis.

Wenn du dir nicht sicher bist, nimm an, dass die Aussage falsch sei, d.h. es ist möglich v+w durch Skalierung von v-w darzustellen, also : v+w=α*(v-w) für ein α∈K. Diese Aussage dann solange umformen, um damit einen Widerspruch zu erzeugen.