Eine Zahl sei das Produkt aus 5 verschiedenen Primzahlen. Bestimmen sie die Anzahl Teiler dieser Zahl.

Question

Aufgabe:

Eine Zahl sei das Produkt aus 5 verschiedenen Primzahlen. Bestimmen sie die Anzahl Teiler dieser Zahl.

Problem/Ansatz:

Ich dachte langsam die Kombinatorik verstanden zu haben, doch da stieß ich auf dieses Problem. Leider fehlt mir hier jeglicher Ansatz und habe keine Idee, wie ich eine solche Aufgabe überhaupt beginnen soll.

Besten Dank im Voraus.

Niveau:

Bin auf gymnasialem Niveau.

Answer 1

der Einfachheit halber könntest du

die Teiler von z=2*3*5*7*11 auszahlen, dass sind 32. Das ist natürlich kein Beweis.

Allgemein:

Jeder Teiler von z ist ein Produkt aus jeweils 1-5 der verwendeten Primzahlen.

Betrachte mal anstatt 5 Primzahlen allgemein n Primzahlen.

Wieviele Möglichkeiten gibt es , aus n Primzahlen k auszuwählen?

Genau (n über k) viele.

Die Gesamtzahl an Teiler ergibt sich nun aus der Summe von (n über k) , wobei k=1,2,..., n durchläuft.

Kann man auch so schreiben:

∑(k=1 bis n) (n über k)

und das ergibt 2^{n} -1

Es kommt aber noch der Trivialteiler 1 hinzu

Also gibt es 2^n Teiler, bei dir 2^5 =32

Comments

Danke für die ausführliche Antwort. Würde bei 2⁵ aber nicht heissen, dass eine Wiederholung auftritt?

Z.B. bei deinem obigen Beispiel, würde dann ja 2 * 3 sowie 3 * 2 hinzugezählt werden, obwohl es das gleiche ist. Ist dies so gedacht?

Wenn die Wiederholung nicht auftritt, wäre es dann nicht nur 5 tief 2?

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Ich komme bei deinem Beispiel auf:

(5 über 1): 2,3,5,7,11 = 5 Stück

(5 über 2): 2*3,2*5,2*7,2*11,3*5,3*7,3*11,5*7,5*11,7*11 = 10 Stück

also auch so wie ich es oben beschrieben habe. Der Binomialkoeffizient beachtet die Reihenfolge nicht, so soll es hier auch sein.

Answer 2

Wieviele Kombinationen aus den Primfaktoren lassen sich bilden?

vgl: Potenzmenge (ohne leere Menge)