Stammfunktion von Funktionen bestimmen

Question

Aufgabe:

f(x,y)=(x,y)

Problem/Ansatz:

Mir fehlt es allein schon beim Ansatz, wie kann man von so einer Funktion die Stammfunktion bilden?

Ich wäre sehr froh, wenn mir jemand weiterhelfen könnte.

Comments

Ich sehe keine Funktion. Was soll (x,y) bedeuten?

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poste die exakte Aufgabe! geht f von R-> R^2

Gruß lul

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Also ganz konkret steht da: Die Stammfunktion folgender f: R^2 -> R^2 Funktionen

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f(x,y)=(x,y)

Das ist doch keine Funktion.

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macht eine Aufgabe wie:

f(x,y)=(x^2+xy^2, x^2 y+y^3)

Mehr Sinn?

Answer 1

f(x,y)=(x,y) ist vollkommen in Ordnung als Funktion. Das dazugehörige Potential =Stammfunktion lautet

F(x,y)= 1/2 x^2 + 1/2 y^2 +C

Dann ist grad(F)=f

Comments

Also du hast die beiden Variablen einfach zusammengenommen.

Aber wie sieht es bei einer Funktion wie der folgenden aus?

f(x,y)=(x^2+xy^2, x^2 y+y^3)

Ist dort die Stammfunktion:

F(x,y)=1/3x^3+1/2x^2*1/3y^3 + 1/3x^3*1/2y^2+1/4y^4

Bitte um kurze Antwort! Danke :)

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Wenn du eine Funktion f(x,y)=(f_x,f_y) hast und das dazugehörige Potential finden willst, dann musst du die beiden partiellen DGL

dF/dx =f_x

dF/dy=f_y

lösen. Bei deinem ersten Beispiel ist das einfach, da die Variablen da nicht mischen beim zweiten gänge es wie folgt:

zuerst

dF/dx =f_x =x^2+xy^2

dies nach x integrieren

F(x,y)=1/3x^3 +1/2 x^2 y^2 +C(y)

C(y) ist eine bisher unsbestimmte Funktion. Leite F nun nach y ab und setze in die zweite DGL ein:

dF/dy=  x^2 *y +C'(y) =! x^2 y +y^3 , x^2 y kürzt sich, damit bleibt

C'(y)=y^3

Integriere nun nach, um C(y) zu erhalten:

C(y)=1/4 y^4 +c

F(x,y)=1/3x^3 +1/2 x^2 y^2 +1/4 y^4 +c

Answer 2

Aber wie sieht es bei einer Funktion wie der folgenden aus?

f(x, y) = [x^2 + x·y^2, x^2·y + y^3]

Leite doch mal als Probe deine Funktion F(x, y) ab und prüfe ob der Gradient übereinstimmt.

Ich habe als Ergebnis

F(x, y) = 1/3·x^3 + 1/2·x^2·y^2 + 1/4·y^4 + c