Algebra komplexen Zahlen

Question

Aufgabe:

Gegeben sind die komplexen Zahlen :

z1 = 2-i , z2 = 1+3i  ,  z3 =-1+2i

Berechnen Sie alle Lösungen von:

z = ³√\( \frac{z1 * z2 - z3^2}{2* z2} \)

Problem/Ansatz:

Also ich habe schonmal das bis hier hin gemacht: z³ = \( \frac{7-3i}{4} \)

Jetzt weiß ich nicht wie ich das in Koordinatenform bekommen kann.

Mein Ansatz : r = √(7/4)²-(3/4)²  = 2√10

Ergebnisse sind : z0 = -0.4696 + 1,1470i

                             z1 = -0,7585 - 0,9802i

                             z2 = 1,2281 - 0,1668i

Comments

Lösung der komplexen Gleichung  z³ = w    mit  w = a + bi  = 7/4 - 3/4 i   [ a =7/4 , b = - 3/4 ]
 
Den Betrag  |w| = r  und das Argument φ von w  kann man aus folgenden Formeln berechnen:
$$ r = \sqrt{a^2 +b^2}\text{ } \text{ } und \text{ } \text{ } φ = arccos\left(\frac { a }{ r }\right) \text{ }\text{ } wenn \text{ }\text{ }b≥0$$$$ \text{ } \text{ } \text{ }\text{ } \text{ }\text{ } \text{ }\text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ }\text{ } \text{ }\text{ } \text{ }\text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ }\text{ } \text{ }\text{ }\text{ } \text{ } \text{ }\text{ } \text{ }\text{ }  \text{ }\text{ }\text{ } \text{ } \text{ }\text{ } \text{ }\text{ }\color{blue}{- arccos\left(\frac { a }{ r }\right)\text{ }wenn \text{ }\text{ }b<0}  .$$Ergibt sich φ negativ, kannst du einfach 2π addieren.

Die 3 Werte z_k   für  z = ³√w  erhält man mit der Indizierung k = 0,1,2
aus der Formel  $$ z_k =  \sqrt[3]{r}· \left[ \text{ }cos\left( \frac { φ + k · 2π }{ 3 } \right)+ i · sin\left( \frac { φ + k · 2π }{ 3 }\right) \right] $$Gruß Wolfgang

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Hallo Wolfgang,

mit vielen hin und her rechnen komme ich nicht mit deinem Lösungsansatz auf die richtig Lösung.

Als erstes kann b = -3 nicht stimmen, da die  z^{³ = \( \frac{7-3i}{4} \)}   und b = -3/4 sein müsste.

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Als erstes kann b = -3 nicht stimmen

Da hast du leider recht. Habe den Flüchtigkeitsfehler in der Antwort korrigiert.

Und als zweites? :-)

Was hast du denn dann für r und φ raus?

für k=0 erhalte ich

mit r ≈ 1,903943276  und  φ ≈ - 0,4048917862 deine Lösung z₂

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Zweitens verstehe ich nicht warum man den arccos(\( \frac{a}{r} \)) verwendet.

Dachte man macht das mit dem arctan(\( \frac{b}{a} \) ) ?

Für r habe ich \( \frac{\sqrt{58}}{4} \).

φ habe ich mit deiner angegebenen Formel 0,74329 raus.

Also ich bekommen nicht das raus was du angibst mit der Lösung mit deinen Werten für z₂  bekommen zu haben.

Eher das hier :1,2394 - 2,9195*10^-3 i

Kann mir bitte jemand anderes helfen

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Man kann das auch mit arctan(b/a) und Quadrantenüberlegungen machen. Beides ist richtig.

r = √58/4 ≈ 1,90394  ist richtig

- arccos( a / r ) = - arccos( (7/4) / (√58/4) ) ≈ - 0,404891

                                 arctan( (-3/4) / (7/4) ) ≈ - 0,404891

Wenn du deinen Taschenrechner ins Bogenmaß (RAD) einstellst   [ arccos = cos^-1 ]

und in meine letzte Formel  r =  1,90394  ,  φ  = - 0.404891  einsetzt,

erhältst du

mit  k=0 dein z₂  ,  mit  k = 1  dein z₀  und  mit  k = 2 dein  z₁  

Kann mir bitte jemand anderes helfen

Werde dir den Gefallen tun und meine richtige Antwort in einen Kommentar umwandeln. Dann ist deine Frage wieder für andere Antwortgeber als "Offene Frage" sichtbar.

Dann kann ja eventuell jemand bei dir zu Hause vorbeikommen und dir beim Eintippen in den Taschenrechner helfen.

Mir gefällt jedenfalls dein Ton absolut nicht und ich werde dich nie wieder mit einer Antwort belästigen!

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Warum ist das beleidigent? wenns nicht hilft dann hilfts nicht

Answer 1

damit die offene Frage geschlossen wird:

Lösung der komplexen Gleichung  z³ = w    mit  w = a + bi  = 7/4 - 3/4 i  [ a =7/4 , b = - 3/4 ]

Den Betrag  |w| = r  und das Argument φ von w  kann man aus folgenden Formeln berechnen:
$$ r = \sqrt{a^2 +b^2}\text{ } \text{ } und \text{ } \text{ } φ = arccos\left(\frac { a }{ r }\right) \text{ }\text{ } wenn \text{ }\text{ }b≥0$$$$ \text{ } \text{ } \text{ }\text{ } \text{ }\text{ } \text{ }\text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ }\text{ } \text{ }\text{ } \text{ }\text{ } \text{ } \text{ } \text{ } \text{ }\text{ } \text{ }\text{ }\text{ } \text{ } \text{ }\text{ } \text{ }\text{ }  \text{ }\text{ }\text{ } \text{ } \text{ }\text{ } \text{ }\text{ }\color{blue}{- arccos\left(\frac { a }{ r }\right)\text{ }wenn \text{ }\text{ }b<0}  .$$Ergibt sich φ negativ, kannst du einfach 2π addieren.
Die 3 Werte z_k  für  z = ³√w  erhält man mit der Indizierung k = 0,1,2
aus der Formel  $$ z_k =  \sqrt[3]{r}· \left[ \text{ }cos\left( \frac { φ + k · 2π }{ 3 } \right)+ i · sin\left( \frac { φ + k · 2π }{ 3 }\right) \right] $$Gruß Wolfgang