Beweisen von Körpern in der Algebra

Question

Aufgabe:

Wir betrachten die Teilmenge G von ℂ:

G = {a + b√3i | a, b ∈ ℚ} ⊆ ℂ.
(a) Zeigen Sie: (G, +, ·) ist ein Körper, wobei + und · die Addition und die Multiplikation auf C sind.
(b) Zeigen Sie: G ist ein ℚ-Vektorraum mit der Multiplikation auf ℂ als Skalarmultiplikation.
(c) Ist G ein ℂ-Vektorraum mit der Multiplikation auf ℂ als Skalarmultiplikation?
Begründen Sie Ihre Antwort.

Problem/Ansatz:

welche Axiome sind relevant um a und b zu zeigen, ich bin mir da immer so unsicher. Bei a muss ich doch kommutativität, neutrales element, inverseres Element und abgeschlossenheit für beie Operationen zeigen? und wie kann ich bei b vorgehen?

Answer 1

welche Axiome sind relevant um a  zu zeigen ?

Da es eine Teilmenge von ℂ ist und die Operationen von ℂ

übernommen werden, brauchst du nur zu zeigen:

0 ist enthalten, Es ist gegenüber + und *

abgeschlossen und zu jedem Element ist

das additive und multiplikative Inverse enthalten.

assoziativ, kommutativ etc. folgen, weil es von ℂ

übernommen ist.

b) Vektorraumaxiome prüfen !

c) Das klappt nicht. Finde ein Gegenbeispiel zur

Abgeschlossenheit von G bzgl. der Skalarmultiplikation