Aufgabe zu Körpern und Gruppen

Question

bräuchte bitte Hilfestellung bei einer Aufgabe zum Thema Gruppen da ich hier gerade nicht weiß was zu tun ist.

Die Aufgabenstellung lautet:

$$\text{Sei (G, *) eine Gruppe und (H, *) mit H}\subseteq \text{G eine Untergruppe von G. Zeigen Sie: Wenn x} \in \text{H und y}\in \text{G und y} \notin \text{H, dann x * y}\notin \text{H}$$

Wie geht man bei solchen Aufgabenstellungen vor?

Comments

Wäre x*y∈H, dann auch y=x^-1*x*y∈H.

Answer 1

Du musst über die Gruppenaxiome argumentieren.

Da x∈H ist auch x^(-1) .  Wäre außerdem x*y ∈ H

dann wäre wegen der Abgeschlossenheit der Untergruppe

auch    x^(-1)  * ( x*y)    ∈ H

Wegen der Assoziativität gilt aber

x^(-1)  * ( x*y) = ( x^(-1)  *  x)  *y

mit e_H neutrales El. von H also

= e_H * y   =   y    .

Also wäre y ∈ H. Widerspruch zur Voraussetzung y ∉ H.

Answer 2

Wegen x^-1 ∈ H wäre mit  x*y ∈ H auch x^-1*x*y = y ∈ H.