Exponentialfunktionen: y=f(x)= a * (b^(x+c)) + d Welchen Einfluss haben Parameter a, c und d auf Funktionsgraphen?

Question

Aufgabe:

! Ich muss einen Vortrag halten über das Verhalten von Exponentialfunktionen bei gewissen Parametern als Klausurersatz halten, weil ich 3 Monate in Frankreich bei einem Schüleraustausch war. Ich habe mir schon einiges erarbeitet, benötige dennoch Eure Hilfe.

A.) Meine erste Frage wäre: Ausgehend von der Funktion y=f(x)= a * (b^(x+c)) + d welchen Einfluss haben die Parameter a, c und d auf die Funktionsgraphen?

Könntet Ihr mir sagen, ob dies, was ich herausgearbeitet habe soweit richtig ist? Des Weiteren würde ich gerne wissen, ob dann die Funktion y=a*4(^(x-2)) eine Stauchung wäre, die 2 Einheiten nach rechts wandert?

B.) Meine zweite Frage wäre: Wenn man die Parameter sowohl einzeln wie bei A betrachtet und in Kombinationen, ob es dort Unterschiede gibt und wenn ja, was & wie man es beschreibt? Da habe ich absolut keinen Ansatz. Demnach wäre ich Euch sehr verbunden, wenn Ihr mir dort weiterhelfen würdet.

C.) Wenn ich jetzt allgemeine Formulierungen für den Einfluss der entsprechenden Parameter aufstellen wolle, wie müsste ich dies machen?

Problem/Ansatz:

A) Folgendes habe ich notiert:

Parameter:

a: Streckfaktor - streckt den Graphen in y-Richtung mit dem Faktor a

d: Verschiebung des Funktionsgraphen der allg. Exponentialfunktion y=a*b^x in y-Richtung.

c: bewirkt die Verschiebung der Exponentialkurve in x-Richtung.

für c > 0: Verschiebung nach links

für c < 0: Verschiebung nach rechts

für y=a*b^x mit b < 1 entspricht die Verschiebung c Einheiten nach links einer Streckung mit dem Faktor b^c.

Die Verschiebung um c Einheiten nach rechts entspricht einer Stauchung.

Dies wären meine Fragen. Ich bedanke mich schon einmal im Voraus für Eure Antworten! Schönen Abend noch!

Answer 1

a: Streckfaktor - streckt den Graphen in y-Richtung mit dem Faktor a

Ja.

Weil es für viele Schüler schwierig ist, sich in dieser Situation an "Minus mal Plus ergibt Minus" zu erinnern (und wegen allgemeiner Schwäche im Umgang mit Funktionen), sollte man die eigentlich triviale Tatsache erwähnen, dass ein negatives a auch noch eine Spiegelung an der x-Achse bewirkt.

Weil es für viele Schüler schwierig ist, dass eine Multiplikation mit einer Zahl zwischen 0 und 1 verkleinert anstatt zu vergrößern, sollte man die eigentlich triviale Tatsache erwähnen, dass ein a zwischen 0 und 1 staucht, anstatt zu strecken.

d: Verschiebung des Funktionsgraphen der allg. Exponentialfunktion y=a*b^x in y-Richtung.

Das gilt für jede Funktion, nicht nur für Funktionen der Form y=a*b^x.

c: bewirkt die Verschiebung der Exponentialkurve in x-Richtung.

Ja. Auch das gilt für jede Funktion.

für y=a*b^x mit b < 1 entspricht die Verschiebung c Einheiten nach links einer Streckung mit dem Faktor b^c.

Das gilt nicht nur für b < 1, sondern für jede Exponentialfunktion (also b≠1 und b≠0). Das ist eine Besonderheit der Exponentialfunktion.

ob dann die Funktion y=a*4(^(x-2)) eine Stauchung wäre, die 2 Einheiten nach rechts wandert?

Gegenüber

        y = 4^x

ist

        y = a·4^x-2

zunächst um 2 nach rechts verschoben und dann um den Faktor a gestreckt/gestaucht (und eventuell an der x-Achse gespiegelt).

C.) Wenn ich jetzt allgemeine Formulierungen für den Einfluss der entsprechenden Parameter aufstellen wolle, wie müsste ich dies machen?

Es ist so wie du gesagt hast. Du musst nur noch eine Reihenfolge in die Transformationen bringen. In der Funktion

        y = a·b^x+c+d

wird gegenüber

        y = b^x

• zuerst horizontal um c verschoben,
• dann um a vertikal gestreckt
• und dann um d vertikal verschoben.