Zeigen dass die Menge zweier reeller Zahlen nichtleer ist

Question

Aufgabe:

Es seien an, b_n ∈ R, für n ∈ ℕ mit der Eigenschaft a_n ≤ a_n+1 ≤
b_n+1 ≤ b_n für n ∈ N. Zeigen Sie, dass die Menge ∩_n∈ℕ[a_n,b_n] nichtleer ist.

Problem/Ansatz:

So wie ich die Aufgabe verstehe handelt es sich um zwei Folgen. Die a Folge wird immer größer und die b folge immer kleiner. Jetzt muss ich aber zeigen, dass die sich schneiden. Wenn ich davon ausgehe dass beide Folgen divergieren dann ist das Supremum von der Schnittmenge = b_n und das Infimum der Schnittmenge = a_n.

Aber wie zeige ich das korrekt und ist mein Gedanke überhaupt richtig?

Answer 1

ich sehe die Frage erst jetzt.

Beweis:

Jedes \(b_n\) ist eine obere Schranke für \(A:=\{a_n : n\in \mathbb{N}\}\). Demnach existiert ein Supremum von \(A\); nachfolgend als \(x\) bezeichnet. Nun ist also \(a_n \leq x\) für alle \(n\), jedes \(b_n\) eine obere Schranke und \(x\) das Supremum, daher \(x\leq b_n\) für alle \(n\). Deswegen gehört \(x\) zu jedem \([a_n,b_n]\).

Das Übungsblatt ist aber schon Schnee von gestern!