Bestimmen Sie g∈V so, dass g(1) =β(g,f) für alle f∈V

Question

Sei (V,β) ein Euklidischer Raum. Sei λ:V→R linear.

(b)  SeiV=P2(R) der Vektorraum der Polynomfunktionen von Grad höchstens 2. Es ist V ein Euklidischer Raum mit Skalarprodukt β(f,g) :=∫(von -1 bis 1) f(x)g(x)dx für alle f,g∈V. Bestimmen Sie g∈V so, dass g(1) =β(g,f) für alle f∈V

Ich hätte dazu jetzt die Basis B={1,x,x²} gewählt und dann ganz normal die Orthonormalbasis berechnet. Diese ist C={1/(2^1/2), (3/2)^1/2 x, (45/8)^1/2(x²-1/3)}.

Aber ich habe keine Ahnung wie ich dann weitermachen muss.

Answer 1

Wie wäre es mit g= 0-Polynom ?

g(1)=0   und

∫(von -1 bis 1) f(x)g(x)dx =∫(von -1 bis 1) 0 dx  = 0.

Comments

Ah danke das ist wirklich gut.

Und kannst du mir vielleicht auch sagen, wie ich in der Aufgabe b dann zeigen kann dass es genau ein v ∈ V gibt mit λ(u)= f(v,u) für alle u ∈ V, wenn (V,f) ein Euklidischer Raum ist?

da hab ich leider gar keine Ahnung

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Wer ist denn  λ in dieser Aussage.

"dass es genau ein v ∈ V gibt mit λ(u)= f(v,u) für alle u ∈ V, wenn (V,f) ein Euklidischer Raum ist?"

Und war es bei a) wirklich " dass g(1) =β(g,f) für alle f∈V "

oder vielleicht     " dass f(1) =β(g,f) für alle f∈V "

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Nein, die a stimmt auf jeden Fall so das steht exakt so da.

Und λ: V→ℝ linear bei der b