Lage von Funktion im Kreis | euklidische Norm des R² | Skizze

Question

Gegeben sei der Weg \( \gamma:[0,2 \pi] \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) mit \( \gamma(t)=(t-\sin t, 1- \) \( \cos t)^{T} \)

Zeigen Sie, dass \( \gamma(t) \) für jedes \( t \in[0,2 \pi] \) auf dem Kreis mit Mittelpunkt \( (t, 1) \) und Radius 1 liegt und skizzieren Sie die Lage des Punktes auf dem Kreis für die Werte \( t \in\left\{0, \frac{\pi}{2}, \pi, \frac{3 \pi}{2}, 2 \pi\right\} \)

Hallo zusammen, wie genau zeige ich den ersten Schritt mit dem Kreis bzw. wie genau setzt man dann danach die Werte ein und zeichnet die ''Lage''. Ich kann mir das gerade nicht bildlich vorstellen.

Danke im Voraus!

Comments

Matthieu Balls,

Hättest du vielleicht die Lösung für diese Aufgabe, weil ich die unbedingt brauche für meine uni aber es einfach nicht hinbekomme.

Mit freundlichen Grüßen

Answer 1

Hallo,

ein Kreis mit Mittelpunkt \((t,1)\) und Radius \(1\) genügt der cartesischen Kreisgleichung: $$(x-t)^2+(y-1)^2=1$$ Was passiert, wenn du \(x=t-\sin(t)\) und \(y=1-\cos(t)\) einsetzt?

Stichwort: Trigonometrischer Pythagoras.

Comments

ja man erhält halt sin² t + cos² t = 1 was der trigonometrische Pythagoras ist, was genau fange ich dann damit an?

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Die Gleichung ist für alle \(t\in [0,2\pi]\) erfüllt. Der Weg genügt der Kreisgleichung. \(\gamma\) ist stetig mit Startpunkt = Endpunkt und für jedes \(t\) liegt es auf dem Kreis. Das ist doch das, was du dich gefragt hast.

Schau hier: https://de.wikipedia.org/wiki/Trigonometrischer_Pythagoras

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Ist kein Beweis. Es sieht aber so aus, als ob \( \gamma(t) \) auf dem besagten Kreis liegt:

siehe auch Zykloide.

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Ist kein Beweis.

Möchtest du das begründen? Abgesehen von der Durchlaufrichtung und -geschwindigkeit (dann würde sich das Parameterintervall ändern), scheint es mir keine stetige Funktion zu geben, die überall gleichen Abstand (nämlich 1) vom Mittelpunkt (t,1) hat und deren Anfangspunkt = Endpunkt ist. Es geht hier um die Spur der Kurve. Siehe auch hier. Ich meine, diese Vorgehensweise auch schon auf einem Übungsblatt gesehen zu haben, vielleicht auch im Repetitorium der Analysis 2 von Timmann. Da finde ich es aber gerade nicht mehr. Ohne schlagfertiges Argument gilt für mich in dubio pro reo.

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Hallo Anton,

unter Umständen liegt hier ein Missverständnis vor. Meine Aussage

Ist kein Beweis.

bezog (und bezieht) sich auf das was ich anschließend in dem Kommentar geschrieben und dargestellt habe. Ich habe die Zykloide in Desmos 'eingehackt' und dann sieht es so aus, als ob .... Aber diese Darstellung meinerseits (im Grunde völlig ohne Bezug zu Deiner korrekten(!) Antwort) ist eben kein Beweis. ;-)

PS.: wenn ich an einer Beweisführung einen verrmeintlichen Mängel entdecken und ihn auch hier äußern würde, dann würde ich das auch begründen. Und die besagte Stelle auch nennen.

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Achso ... Dann danke für die Grafik!