Zeigen Sie, dass die Menge nicht leer ist.

Question

Aufgabe:

Es seien \( a_{n},b_{n}\in\mathbb{R},\,\) für \( n\in\mathbb{N}\, \) mit der Eigenschaft \( a_{n}\leq a_{n+1}\leq b_{n+1}\leq b_{n} \)

Zeigen Sie, dass die Menge \( \cap_{n\in\mathbb{N}}\left[a_{n},b_{n}\right] \) nicht leer ist.

Answer 1

Jedes \(b_n\) ist eine obere Schranke für \(A:=\{a_n : n\in \mathbb{N}\}\). Demnach existiert ein Supremum von \(A\); nachfolgend als \(x\) bezeichnet. Nun ist also \(a_n \leq x\) für alle \(n\), jedes \(b_n\) eine obere Schranke und \(x\) das Supremum, daher \(x\leq b_n\) für alle \(n\). Deswegen gehört \(x\) zu jedem \([a_n,b_n]\).

Comments

Danke für den Stern, alles klar? :-)