Zeigen Sie, dass die Menge nicht leer ist.

Question

Aufgabe:

Es seien $a_{n},b_{n}\in\mathbb{R},\,$ für $n\in\mathbb{N}\,$ mit der Eigenschaft $a_{n}\leq a_{n+1}\leq b_{n+1}\leq b_{n}$

Zeigen Sie, dass die Menge $\cap_{n\in\mathbb{N}}\left[a_{n},b_{n}\right]$ nicht leer ist.

Answer 1

Jedes $b_n$ ist eine obere Schranke für $A:=\{a_n : n\in \mathbb{N}\}$. Demnach existiert ein Supremum von $A$; nachfolgend als $x$ bezeichnet. Nun ist also $a_n \leq x$ für alle $n$, jedes $b_n$ eine obere Schranke und $x$ das Supremum, daher $x\leq b_n$ für alle $n$. Deswegen gehört $x$ zu jedem $[a_n,b_n]$.

Comments

Danke für den Stern, alles klar? :-)