Beweis der Unendlichkeit von rationalen Zahlen zwischen a und b, wenn a < b.

Question

seine a, b element der reellen zahlen und a < b zeige dass die Menge (relement Q/ a < r < b) ist nicht endlich.


seine a, b element der reellen zahlen und a
Hilfe wie kann ich da vorgehen?

Comments

in der überschrift sollte natürlich UNendlichkeit stehen ..

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Ich versuchte die vielen Tippfehler hier oben zu korrigieren.

seine a, b element der reellen zahlen  und a<b zeige dass die Menge (relement Q/ a<r<b) ist nicht endlich. 

Leider wird nach dem < alles weggefiltert.

Ziel war:

Seien a, b element der reellen Zahlen  und a<b. Zeige, dass die Menge (r element Q/ a<r<b)  nicht endlich ist. 

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Alle Zahlen aus IR sind somit auch in Z und in IN...

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Schon. Aber man sollte hier zeigen, dass zwischen 2 beliebigen reellen Zahlen unendlich viele rationale Zahlen liegen.

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Na das steht aber nicht in der Aufgabe...

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Da steht "seine a, b element der reellen zahlen ..."

Da kannst du nicht einfach einen Spezialfall ansehen.

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Wieso nicht? Wenn es doch nur darum geht zu zeigen, dass dann die Menge Q nicht endlich ist, und es auch schon der Spezialfall tut, dann geht das.

Answer 1

Wenn es zwei rationale zahlen gibt die sich als

a/b und c/d darstellen lassen dann gibt es immer eine rationale Zahl die genau zwischen diesen rationalen Zahlen liegt

r = (a/b + c/d)/2 = (ad + bc)/(2bd)

Nun hat man schon 3 rationale Zahlen. Jetzt lassen sich aber zwischen zwei benachbarten rationalen Zahlen wieder mind. eine rationale Zahl finden die genau in der Mitte liegt.

Und weil sich immer wieder zwischen 2 rationalen Zahl eine weitere finden lässt ist die Menge aller rationalen Zahlen unendlich.

Comments

Ich habe hier gezeigt das es zwischen zwei rationalen Zahlen unendlich viele weitere rationale Zahlen gibt.

Du könntest jetzt selber mal überlegen wie du zeigen kannst das es zwischen zwei reellen Zahlen auch undendlich viele rationale Zahlen gibt.

Interessanter weise existieren zwischen zwei rationalen Zahlen unendlich viele reelle Zahlen und ebenso existieren zwischen zwei reellen Zahlen undendlich viele rationale Zahlen.

Answer 2

Hi,

Vollständige Induktion (b ∈ ℤ ist Vorausgesetzt und a ∈ ℕ ebenfalls)

(I.A.): a = 0 (bei a/b):

a/b = 0/b und weil 0,b ∈ ℤ ⇒ a/b = 0/b ∈ ℚ

(I.S.): a/b ∈ ℚ ist die Voraussetzung:

(a+1)/b = a*/b und a* ist wegen Piano-Axiom ebenfalls in ℕ. Somit ist (a+1)/b ∈ ℚ

a* ist der Nachfolger von a, und wir haben gezeigt, dass für jedes a/b mit b ∈ ℤ und a ∈ ℕ es noch eine weiter rationale Zahl existiert deren Nenner eine ganze Zahl und deren Zähler eine natürliche Zahl ist. Und weil es unendlich viele natürliche Zahlen gibt, auch unendlich viele rationale Zahlen.

Comments

Hallo Legen…Där,

das Problem ist aber, dass da steht 'Seien a, b reelle Zahlen.'

Dann kannst du nicht einfach voraussetzen, dass b eine ganze und a eine natürliche Zahl ist.