Bestimmen Sie, für welche y ∈R die Funktion g(x):= f(x,y) surjektiv ist

Question

Aufgabe:

Folgende Funktion liegt vor:

f : R2 →[0,4]  mit  f(x,y):=2+sin(1+x)+cos(x+y)

und daraus soll ich nun wie im Fragetitel stehend alle y bestimmen, für die g(x) surjektiv ist.

Problem/Ansatz:

Mein Problem ist nun, dass ich grad auf dem Schlauch stehe und grad keinen wirklichen Ansatz zur Lösung der Aufgabe habe. Normalerweise würde ich in Sachen surjektivität einfach die Umkehrfunktion bilden, mit der Forderung alle y zu bestimmen bin ich jedoch grad etwas überfordert und erhoffe mir Hilfe von euch.

Comments

Die Funktion

$$g_y : \mathbb{R} \to [0,4], ~x \mapsto 2+\sin(1+x)+\cos(x+y)$$

ist stetig. Wenn du zeigts, dass $x_0, x_1$ mit $g_y(x_0) = 0$ und $g_y(x_1) = 4$ existieren, dann folgt die Surjektivität aus dem Zwischenwertsatz. Für Welche $y$ existieren solche Zahlen? Für welche nicht?

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Also meinst du ich soll die Funktion nach y umstellen und dann erstmal x0 sowie x1 bestimmen?

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Also meinst du ich soll die Funktion nach y umstellen

Nein. Beachte, dass
$$-1≤\sin(x+1)≤1$$ $$-1≤\cos(x+y)≤1$$und
$$0=2-1-1,\quad 4=2+1+1$$
Wann erreichst du also 0? Natürlich nur wenn mit x und y gilt:$$\sin(1+x) = -1 = \cos(x+y)$$Und die 4 erreichst du nur, wenn mit x,y$$\sin(1+x)=1=\cos(x+y)$$erfüllt ist. Jetzt sieht man eigentlich schon direkt, dass das beides nur für$$y=1-\frac{\pi}{2}+2\pi k,\quad k\in\mathbb{Z}$$geht.