Für welche µ ∈R ist die Matrix Cµ invertierbar

Question

Hätte jemand hierzu einen Tipp oder einen Lösungsvorschlag?

lg Jay

Für welche µ ∈R ist die Matrix Cµ :=\( \begin{pmatrix} 1 & µ & 0 & 0 \\ µ & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & µ \\ 1-µ^2 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \) ∈ M(4×4,R)invertierbar? Bestimmen Sie für diese µ die inverse Matrix (Cµ)−1.

Answer 1

Tipp: Entwicklung nach der dritten Spalte liefert \(\det C_\mu=1-\mu^2\).

Comments

Heißt also für alle µ ≠ 1 und -1 ist die Matrix invertierbar, da sonst die Determinante 0 wäre?

Wie gebe ich dann jetzt die inverse Matrix (Cµ)−1 an?

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Für 2×2-Matrizen A,B,C gilt \(\begin{pmatrix}A&0\\B&C\end{pmatrix}^{-1}=\begin{pmatrix}A^{-1}&0\\-C^{-1}BA^{-1}&C^{-1}\end{pmatrix}\), sofern die Inversen existieren.

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In wie fern hilft mir das weiter? Ich verstehe den Zusammenhang nicht ganz weil ich doch hier eine 4x4 Matrix habe.

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In wie fern hilft mir das weiter? Ich verstehe den Zusammenhang nicht ganz weil ich doch hier eine 4x4 Matrix habe.

Teile deine 4x4 Matrix auf in   A =

  1      μ
 μ       1       und   B =

  0          0 
1-μ^2     0     und C =

   1       μ
   0       1.

Wende damit den Trick von Spacko an und

du hast die Inverse von C_μ.

Answer 2

Aloha :)

Ich denke, Jay ist noch nicht ganz klar, wie man überhaupt die Inverse einer Matrix berechnet. Daher hilft der Tipp von Spacko nicht direkt weiter. Bereits geklärt ist, dass die Determinante von \(C_\mu\) ungleich \(0\) sein muss, damit die Matrix invertierbar ist. Daher ist \(\mu\in\mathbb{R}\setminus\{-1;+1\}\) und damit \(1-\mu^2\ne0\).

Bei der Bildung der Inversen einer Matrix, schreibt man zunächst die Matrix hin und dazu die Einheitsmatrix:

$$\left(\begin{array}{c}1 & \mu & 0 & 0\\ \mu & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & \mu\\ 1-\mu^2 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)\quad;\quad\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)$$Dann bringt man durch elementare Zeilenumformungen die linke Matrix auf die Form der Einheitsmatrix und wendet dieselben Rechenoperationen, die dazu nötig sind, auch bei der rechten Matrix an. Dank Copy-Paste kann man die Schritte hier einzeln durchgehen.

Zeile 4 durch \((1-\mu^2)\) teilen:

$$\left(\begin{array}{c}1 & \mu & 0 & 0\\ \mu & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & \mu\\ 1 & 0 & 0 & \frac{1}{1-\mu^2}\end{array}\right)\quad;\quad\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0 & 0\\0 & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & \frac{1}{1-\mu^2}\end{array}\right)$$Das \(\mu\)-fache der Zeile 1 von Zeile 2 subtrahieren:

$$\left(\begin{array}{c}1 & \mu & 0 & 0\\ 0 & 1-\mu^2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & \mu\\ 1 & 0 & 0 & \frac{1}{1-\mu^2}\end{array}\right)\quad;\quad\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0 & 0\\-\mu & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\0 & 0 & 0 & \frac{1}{1-\mu^2}\end{array}\right)$$ Zeile 1 von Zeile 4 subtrahieren:

$$\left(\begin{array}{c}1 & \mu & 0 & 0\\ 0 & 1-\mu^2 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & \mu\\ 0 & -\mu & 0 & \frac{1}{1-\mu^2}\end{array}\right)\quad;\quad\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0 & 0\\-\mu & 1 & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\-1 & 0 & 0 & \frac{1}{1-\mu^2}\end{array}\right)$$ Zeile 2 durch \((1-\mu^2)\) dividieren:

$$\left(\begin{array}{c}1 & \mu & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & \mu\\ 0 & -\mu & 0 & \frac{1}{1-\mu^2}\end{array}\right)\quad;\quad\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0 & 0\\-\frac{\mu}{1-\mu^2} & \frac{1}{1-\mu^2} & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\-1 & 0 & 0 & \frac{1}{1-\mu^2}\end{array}\right)$$ Zeile 4 zu Zeile 1 addieren:

$$\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0 & \frac{1}{1-\mu^2}\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & \mu\\ 0 & -\mu & 0 & \frac{1}{1-\mu^2}\end{array}\right)\quad;\quad\left(\begin{array}{c}0 & 0 & 0 & \frac{1}{1-\mu^2}\\-\frac{\mu}{1-\mu^2} & \frac{1}{1-\mu^2} & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\-1 & 0 & 0 & \frac{1}{1-\mu^2}\end{array}\right)$$ Zeile 4 durch \(\mu\) dividieren:

$$\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0 & \frac{1}{1-\mu^2}\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & \mu\\ 0 & -1 & 0 & \frac{1}{\mu(1-\mu^2)}\end{array}\right)\quad;\quad\left(\begin{array}{c}0 & 0 & 0 & \frac{1}{1-\mu^2}\\-\frac{\mu}{1-\mu^2} & \frac{1}{1-\mu^2} & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\-\frac{1}{\mu} & 0 & 0 & \frac{1}{\mu(1-\mu^2)}\end{array}\right)$$ Zeile 2 zu Zeile 4 addieren:

$$\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0 & \frac{1}{1-\mu^2}\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & \mu\\ 0 & 0 & 0 & \frac{1}{\mu(1-\mu^2)}\end{array}\right)\quad;\quad\left(\begin{array}{c}0 & 0 & 0 & \frac{1}{1-\mu^2}\\-\frac{\mu}{1-\mu^2} & \frac{1}{1-\mu^2} & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\-\frac{1}{\mu}-\frac{\mu}{1-\mu^2} & \frac{1}{1-\mu^2} & 0 & \frac{1}{\mu(1-\mu^2)}\end{array}\right)$$ Zeile 4 mit \(\mu(1-\mu^2)\) multiplizieren:

$$\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0 & \frac{1}{1-\mu^2}\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & \mu\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)\quad;\quad\left(\begin{array}{c}0 & 0 & 0 & \frac{1}{1-\mu^2}\\-\frac{\mu}{1-\mu^2} & \frac{1}{1-\mu^2} & 0 & 0\\0 & 0 & 1 & 0\\-1 & \mu & 0 & 1\end{array}\right)$$Das \(\mu\)-fache der Zeile 4 von Zeile 3 subtrahieren:

$$\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0 & \frac{1}{1-\mu^2}\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)\quad;\quad\left(\begin{array}{c}0 & 0 & 0 & \frac{1}{1-\mu^2}\\-\frac{\mu}{1-\mu^2} & \frac{1}{1-\mu^2} & 0 & 0\\ \mu & -\mu^2 & 1 & -\mu\\-1 & \mu & 0 & 1\end{array}\right)$$Das \(\frac{1}{1-\mu^2}\)-fache der Zeile 4 von Zeile 1 subtrahieren:

$$\left(\begin{array}{c}1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1\end{array}\right)\quad;\quad\left(\begin{array}{c}\frac{1}{1-\mu^2} & -\frac{\mu}{1-\mu^2} & 0 & 0\\-\frac{\mu}{1-\mu^2} & \frac{1}{1-\mu^2} & 0 & 0\\ \mu & -\mu^2 & 1 & -\mu\\-1 & \mu & 0 & 1\end{array}\right)$$Rechts steht nun die gesuchte inverse Matrix.