Menge aller (x,y)∈R^2 beschreiben, für die die Matrix Df(x,y) invertierbar ist

Question

Aufgabe:

Wir definieren \( f: \mathbb{R}^{2} \rightarrow \mathbb{R}^{2} \) durch

\( f(x, y):=\left(e^{x y}, x+y\right) . \)

Beschreiben Sie möglichst einfach die Menge aller \( (x, y) \in \mathbb{R}^{2} \), für die die Matrix \( D f(x, y) \) invertierbar ist.

Answer 1

Eine Matrix ist invertierbar, wenn die Determinante ≠ 0 ist. Das heißt du musst erstmal Df(x,y) bestimmen, das ist dann eine 2x2-Matrix (beide Einträge jeweils einmal nach x und y abgeleitet). Davon bestimmst du dann die Determinante, das wäre hier e^xy*x - e^xy*y, und schaust für welche x,y dieser Term ≠ 0 ist. Wenn man e^xy ausklammert sieht man eigentlich recht schnell, dass x≠y sein muss. D.h. Df(x,y) ist invertierbar ∀ (x,y)∈ R2 mit x≠y ;)

Comments

Ist die Determinante aber nicht exy*y - exy*x statt exy*x - exy*y?

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Und wie mach ich das, wenn ich nicht weiß, dass eine Matrix genau dann invertierbar ist, wenn ihre Determinante ≠ 0 ist?