Lösungen für 0.5n(n+1)=m^2

Question

Aufgabe:

Finde alle Lösungen für

$$\frac{n(n+1)}{2}=m^{2}\hspace{10pt}mit\:\forall m,n\in\mathbb{N}$$

Problem/Ansatz:

$$\frac{n(n+1)}{2}=m^{2}\hspace{20pt}/*2$$

$$n(n+1)=2\:m^{2}\hspace{20pt}/-2*m^{2}$$

$$n^{2}+n-2\:m^{2}=0$$

Diophantische Gleichung zweiten Grades

Es gibt keine universelle Lösungsmethode?

Durch ausprobieren kommt man auf eine Lösung n=8 und m=6.

Wie geht man hier vor?

Comments

Siehe dazu auch Folgen A001110, bzw. A001108 in OEIS. Dort findest du auch Rekursionsformeln.

Answer 1

Man kann für sowas nur schwer Werte durch bloßes Hinschauen ermitteln. Aber man kann den Computer mal fragen. Zunächst aber mal nach n umgestellt sieht das so aus:

$$ n_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{1+8\cdot m^2}}{2} $$

Phython-Code:

for i in range(m):

    print(i, (-1+(1+8*i**)**0.5)/2)

Bis m=7000 bekommt man dann Lösungspaare (n, m)

(0, 0)

(1, 1)

(6, 8)

(35, 49)

(204, 288)

(1189, 1681)

(6930, 9800)

Jetzt kannst du mal versuchen, anhand der gegebenen Lösungen (wenigstens) eine rekursive Bildungsvorschrift hinzuschreiben.