2x2 Matrizen bilden Vektorraum

Question

Aufgabe:

Die Menge ℝ ^2x2 :={\( \begin{pmatrix} a & b \\ c & d \end{pmatrix} \) | a,b,c,d ∈ ℝ } 
der 2 x 2 - Matrizen bildet einen Vektorraum.

a) Zeigen Sie, dass die Matrizen 
\( \begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1& 0 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix}  0 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} \)  linear unabhängig sind.

b) Zeigen Sie, dass
U := {A ∈ ℝ ^2x2 | A = \( \begin{pmatrix} 0 & b \\ c & 0 \end{pmatrix} \) mit b,c ∈ ℝ}
einen Untervektorraum des ℝ ^2x2 bildet und bestimmen Sie die Dimension von U.

c) Zeigen Sie: Die Abbildung f : ℝ ^2x2 → ℝ ^2x2, A ↦ A + A^T ist linear und es gilt:  Kern (f) ⊆ U (mit U wie in b))

Kann mir bitte jemand mit dieser Aufgabe helfen? 
ich weiß nicht wie ich diese Aufgabe lösen soll

Answer 1

a) Wie immer bei lin. unabh.

Ansatz:

 \( a*\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1& 0 \end{pmatrix} \) +b* \( \begin{pmatrix} 2 & -1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix} \) +c* \( \begin{pmatrix} 3 & 3 \\ 3 & 3 \end{pmatrix} \) +d* \( \begin{pmatrix}  0 & 0 \\ -1 & 1 \end{pmatrix} =\begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 0& 0 \end{pmatrix} \)

Daraus machst du 4 Gleichungen für jede Position in den Matrizen eine, also etwa

1*a+2*b+3*c+0*d=0  und

1*a -1*b+3*c+0*d=0   etc.

und zeigst mit Gaussalgorithmus:

 Dieses Gl.system hat als einzige Lösung a=b=c=d=0.

b) Unterraumkriterium prüfen  und zeigen

 \( \begin{pmatrix} 0 & 1 \\ 0& 0 \end{pmatrix} \) , \( \begin{pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \)

ist eine Basis für U ==>   dim = 2