Bilden die folgenden 2x2 Matrizen eine Basis?

Question

Aufgabe:

b) Über einem Körper \( K \) seien folgende Matrizen gegeben:
$$ A_{1}=\left(\begin{array}{ll} {1} & {1} \\ {1} & {0} \end{array}\right), \quad A_{2}=\left(\begin{array}{ll} {1} & {1} \\ {0} & {1} \end{array}\right), \quad A_{3}=\left(\begin{array}{ll} {1} & {0} \\ {1} & {1} \end{array}\right), \quad A_{4}=\left(\begin{array}{cc} {0} & {1} \\ {1} & {-1} \end{array}\right) $$
Zeigen Sie, dass \( \mathcal{B}=\left(A_{1}, A_{2}, A_{3}, A_{4}\right) \) eine Basis des \( K^{2 \times 2} \) ist, und bestimmen Sie \( I_{\mathcal{B}}(E) \)

 wie habe ich diese Aufgabe zu lösen? Gibt es eine Möglichkeit das ganze in ein LGS zu bauen und etwas bequemer zu lösen, sprich aus den 2x2 Matrizen Vektoren zu basteln oder etwas in der Art? Ich bin mir aufgrund der Position der Nullen mehr oder weniger sicher das es sich um eine Basis handelt aber mehr weiß ich leider nicht. Mir geht es also darum, wie ich diese Aufgabe möglichst schnell löse.

Answer 1

Zeige a *A1+b*A2+c*A3 *dA4= 0 hat keine Lösungen außer a,b,c,d= 0
Das müsste es glaube ich gewesen sein.

Comments

Nein, das war's noch nicht ganz: Man muss auch noch zeigen, dass \(K^{2\times 2}\) Dimension 4 hat (was aber nicht wirklich schwer ist).

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Wie bereits erwähnt, geht es mir dabei um die Methode. Das Vorgehen ist mir bekannt aber ich möchte eben gerade wissen, wie ich diese Gleichungssystem möglichst bequem löse. Also ob ich aus den 2x2 Matrizen zum Beispiel Vektoren bauen kann um sie in ein LGS zu packen und dann mittels Gauss Verfahren zu lösen.

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Du hast doch deine Koeffizienten

a b

c d

aus denen deine Matrix besteht.Wenn du addierst hast du einfach :

a1+a2+a3+a4 b1+b2+b3+b4

c1+c2+c3+c4 d1+d2+d3+d4

Und das dann jeweils mit den Vorfaktoren gleich 0 setzen. Dann hast du vier Gleichungen.