Vektoren und Eigenvektoren

Question

Aufgabe:

Entscheiden Sie ob folgende Vektoren Eigenvektoren zu den gegebenen Eigenwerten einer symmetrischen Matrix A sein können und geben Sie gegebenfalls eine solche Matrix an.

a)  b1( 1 1)  b2( 1 -1)  mit Lambda1=1 und lambda2=-2

b) b1(1 2 1) b2(0 1 0) b3(2 1 1) mit Lambda1=lambda2=2

Lambda3=-1

Problem/Ansatz:

Ich komme gefühlt seit 2 Stunden gar nicht voran. Selbst wenn ich ein Ansatz habe kriege ich nichts raus  kann mir da jemand helfen??

Answer 1

Versuche mal zu verwenden, was du hast.

a) Hypothese: Es gibt eine Matrix A mit

A * b1 = b1 und A * b2 = -2* b2

Daraus kannst du 4 Gleichungen mit den Unbekannten a,b,c,d in der Matrix A((a,b),(c,d)) machen.

Entweder du kannst a, b, c und d bestimmen oder du kommst auf einen Widerspruch.

Comments

Ich weiss nicht warum ich mich so dumm anstelle aber ich kriege diese Aufgabe nicht hin.

Answer 2

Bilde aus den Vektoren eine Transformationsmatrix U und aus den Eigenwerten eine Diagonalmatrix D,

$$U=\begin{pmatrix} 1 & 1 \\ 1 & -1 \end{pmatrix}$$

$$ D=\begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & -2 \end{pmatrix}$$

Dann kannst Du A berechnen als

$$A=UDU^{-1}$$

[spoiler]

a. $$A=\begin{pmatrix} -0.5 & 1.5 \\ 1.5 & -0.5 \end{pmatrix}$$

b. $$A=\begin{pmatrix} -4 & 0 & 6\\-3 & 2 & 3\\ -3 & 0 & 5 \end{pmatrix}$$

[/spoiler]

Comments

Könnte mir jemand a berechnen das ich es als Vorlage hätte und somit b berechnen kann ?

---

Du wirst doch A=UDU⁻¹ ausrechnen können, oder? Matrixmultiplikation!!!

---

Woodoos Ansatz ist wohl der elegantere Ansatz.

Bei b) ist A nicht symmetrisch. Könnte man das zu Beginn schon erkennen?