Grenzwert komplexer Funktionen

Question

Aufgabe:

Berechnen Sie die Grenzwerte der folgenden Funktionen, welche auf ℂ \ {0} definiert sind. 

(I) $\lim\limits_{x\to\ 0}\frac{exp(z)-1}{z}$

(II)  $\lim\limits_{x\to\ 0}\frac{sin(z)}{z}$

(III)  $\lim\limits_{x\to\ 0}\frac{1-cos(z)}{z²}$

(IV) $\lim\limits_{x\to\ 0}\frac{exp(az)-exp(bz)}{z}$

A,b ∈ ℂ konstant. Hinweis: Nutzen Sie die Stetigkeit von Funktionen, die durch Potenzreihen definiert sind.

Idee / Ansatz:

(Hinweis) exp(z) = $\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{z^n}{n!}}$

Also zB. (I)  $\lim\limits_{x\to\ 0}\frac{(\sum\limits_{n=0}^{\infty}{\frac{z^n}{n!}} )-1}{z}$  Doch ich bin mir nicht sicher wie man ab diesem Punkt weiter machen soll. Kann mir jemand erstmal bei der (I) helfen, die Restlichen funktionieren ja dann wahrscheinlich analog dazu?

Answer 1

ja so macht man das. Schreibe die Summe z.B mal

aus: (e^z -1)/z= (1+z+z²/2+.... -1)/z

=(1+z/2 +....)

Ab dem zweiten Summanden kommt z immer mindestens in einfacher Potenz vor, daher diese Summanden gehen gegen 0. Im Grenzwert bleibt nur die 1.

lim z---> 0 : (e^z -1)/z= 1

Bei den andere n Aufgaben gehts ähnlich, da musst du immer die richtige Potenzreihe nehmen.

Comments

Danke für die Antwort, ich habe jetzt den Rest mit den entsprechenden Potenzreihen durch gerechnet und wollte nur noch kurz sicher gehen, dass ich die richtigen Lösungen habe, da ich die Punkte aus der Übung benötige:

(I) =1

(II) =1

(III) = -1/2

(IV) = a-b

Danke schonmal im Vorhinein.