Folgepfeil beweisen aber wie?

Question

mein Name ist Joachim und bin im Studiengang Informatik eingeschrieben. Mittlerweile habe ich mich an Beweisketten gewöhnt, allerdings kam jetzt eine Aufgabe, die einen Folgepfeil beinhaltet.

Die Aufgabe lautet folgendermaßen:

Beweisen Sie, dass für alle x, y ∈ R gilt: x(x−2y²) > 0 ⇔ |x−y²| > y2.

Was mich an dieser Aufgabe stört, ist der Folgepfeil. Wie genau gehe ich einen solchen Beweis an?

Gruß,

Achim

Comments

Heißt es so ?

| x−y^2 | > y^2

x = 4
y = 5
| 4 - 25 | > 25
21 > 25
wäre wohl falsch

Answer 1

Was du "Folgepfeil" nennst und was deshalb beim Lesen des Themas wie eine Implikation klingt, entpuppt sich als Doppelpfeil und steht für eine genau-dann-wenn-Aussage.

Du musst also den Beweis in beide Richtungen führen.

Answer 2

$$\qquad\,x(x-2y^2)>0$$$$\Longleftrightarrow x^2-2xy^2>0$$$$\Longleftrightarrow x^2-2xy^2+y^4>y^4$$$$\Longleftrightarrow(x-y^2)^2>y^4$$$$\Longleftrightarrow\vert x-y^2\vert>y^2.$$