Radius und Winkel aus Kreisbogen bestimmen

Question

Aufgabe:

Gegeben sind 2 Punkte P1(x1,y1) und P2(x2,y2) die auf dem Rand eines Kreises in der xy-Ebene liegen.

Der Kriesbogen von P1 zu P2 ist mit b gegeben.

Wie kann man mit diesen Angaben den Radius und den Winkel des Kreises bestimmen?

Answer 1

Antwort mit KI erzeugt

Radius und Winkel aus Kreisbogen bestimmen

Um den Radius $r$ und den Winkel $\theta$ zwischen zwei Punkten $P_1(x_1, y_1)$ und $P_2(x_2, y_2)$, die auf dem Rand eines Kreises liegen, zu bestimmen, nutzen wir grundlegende Eigenschaften der Kreisgeometrie.

Der Kreisbogen $b$ ist der Weg entlang des Kreisrands zwischen den beiden Punkten. Die Länge des Bogens kann mit der Beziehung $b = r\theta$ ausgedrückt werden, wobei $r$ der Radius des Kreises und $\theta$ der Winkel im Bogenmaß ist, der vom Kreiszentrum aus die beiden Punkte aufspannt.

Um $\theta$ (in Radiant) zu berechnen, nutzen wir die direkte Beziehung zwischen Bogens und Radius:
$\theta = \frac{b}{r}$
Allerdings, um $\theta$ oder $r$ direkt zu bestimmen, benötigen wir entweder den einen, um den anderen zu berechnen, was anscheinend nicht direkt möglich ist, ohne zusätzliche Informationen oder Annahmen.

Eine Methode, den Radius und den Winkel zu bestimmen, ohne den einen oder anderen zu kennen, wäre, die Distanz zwischen $P_1$ und $P_2$ zu verwenden. Die Distanz $d$ zwischen $P_1$ und $P_2$ kann mit dem Satz des Pythagoras berechnet werden:
$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
Für einen Kreisbogen, der nicht länger als der halbkreisförmige Weg zwischen zwei Punkten ist, kann man folgende Beziehung zwischen $d$, $r$ und $\theta$ (in Radiant) heranziehen:
$d = 2r\sin\left(\frac{\theta}{2}\right)$

Jedoch ohne weitere spezifische Informationen oder Einschränkungen (wie den Mittelpunkt des Kreises oder dass der Bogen $b$ ein bestimmter Teil des Umfangs ist), kann die Berechnung des Radius und des Winkels direkt aus nur den Punkten $P_1$, $P_2$ und der Bogenlänge $b$ komplex sein. Folgende Schritte könnten helfen, aber eine allgemeine Lösung in diesem Rahmen zu bekommen, ist schwierig:

1. Bestimme die Mitte der Strecke $d$ zwischen $P_1$ und $P_2$; dies gibt den Mittelpunkt $M$ der Sehne.
2. Winkel $\theta$ kann nur unter spezifischen Annahmen direkt berechnet werden, wie z.B., wenn bekannt ist, dass $b$ einen bestimmten Teil des Kreisumfangs $2\pi r$ ausmacht.

In der Praxis kommt es ohne die Kenntnis des Kreismittelpunkts oder einer expliziten Annahme bezüglich der Beziehung zwischen $b$ und dem Gesamtumfang des Kreises (oder eines spezifischen Verhältnisses von Radius $r$ zu Bogen $b$), darauf an, kontextbezogene Hinweise oder Zusatzannahmen zu nutzen, um das Problem zu lösen.