Lineare Codes sind Untervektorräume

Question

Aufgabe:

Ich verstehen nicht ganz wie man bei der a) den linearen Code findet. Wäre nett, wenn es jemand vielleicht anhand eines anderen Beispiels erklärt. Im Internet oder in unserem Skript ist es nur sehr allgemein erklärt.


a) Finden Sie den linearen Code CA ⊂ (F3)3 der von den Codewörtern (1,0,1),(1,2,0) und (0,2,2) erzeugt wird, nennen Sie alle Codeworte.
b) Welchen Minimalabstand d(CA) hat der Code CA?
c) Welche Dimension hat der Code CA?
d) Nennen Sie alle Mengen von Stellen J ⊂ {1,2,3} in denen der Code CA systematisch ist.
e) Falls der Code CA systematisch in den Stellen 1 und 2 ist, nennen Sie die kanonische Generator-
Matrix für CA.
f) Nennen Sie eine Kontroll-Matrix für CA.

Problem/Ansatz:

Wir haben getestet ob die drei Codewörter in der Skalarmultiplikation und in der Addition abgeschlossen sind. Die Codes die dann rauskamen müssen doch auch in C sein oder? Muss man dann wieder alle zueinander prüfen? Woher weiß man die viele Codewörter in C enthalten sein müssen?

Answer 1

2*(1,0,1) +1*(1,2,0) =  (0,2,2)

Du brauchst also nur die ersten 2 um alle zu erzeugen. Das gibt

0*(1,0,1) +0*(1,2,0) 
0*(1,0,1) +1*(1,2,0) 
0*(1,0,1) +2*(1,2,0) 
1*(1,0,1) +0*(1,2,0) 
1*(1,0,1) +1*(1,2,0) 
1*(1,0,1) +2*(1,2,0) 
2*(1,0,1) +0*(1,2,0)

2*(1,0,1) +1*(1,2,0)  

2*(1,0,1) +2*(1,2,0)

und du hast alle 9 .

Comments

Müssten wir nicht eine 3x3 Generatormatrix bekommen anstelle der 2x3? Also dementsprechend mit 27 verschiedenen?

Corect me if I‘m wrong

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Definition:  Ein Blockcode C enthalten in boolesche Werten heißt linearer Code, wenn die Summe zweier Codewörter wieder ein Codewort ist, d.h. wenn gilt

für alle x, y Element C :  x xor y Element C

also wie ich das hier verstehe braucht man nur 2 codewörter

Answer 2

Ich bin nicht sichi wie Siegfried, aber bei der b) würd ich sagen Mindestabstand ist 1, weil (1,0,1) und (0,0,1) einen Abstand von 1 haben.

bei c) würd ich sagen, die Vektoren (1,1,0), (1,2,0) und (0,0,2) bilden eine Basis, weil lin. unabhängig und der Span ist ganz in C. Deshalb ist die Dimension 3.

kann das jemand so bestätigen oder widerlegen?