Konvergiert die Folge a_n = (1 - √2/n)^{n}? Falls ja, was ist der Grenzwert.

Question

Aufgabe:

Wie im Fragetitel schon beschrieben lautet die Aufgabe: Untersuchen sie die Folge $$a_n=(1 - \frac{\sqrt{2}}{n})^{n}$$ auf Konvergenz und bestimmen sie, falls vorhanden den Grenzwert.

Problem/Ansatz:

Mein Problem ist, dass ich keine Lösung zu dieser Aufgabe habe. Das einzige was ich habe ist folgendes: Aus der Vorlesung ist bekannt, dass $$\lim\limits_{n\to\infty}(\frac{1+x}{n})a^{n} = exp(x)$$ ist. Damit ist aber $$\lim\limits_{n\to\infty}a_n = exp(-\sqrt{2})$$

Ich kann damit leider nicht viel anfangen. Jemand eine Idee für einen passenden Ansatz?

Answer 1

Damit ist aber...

Warum das aber? Das ist bereits die richtige Lösung :)

Wenn ihr das in der Vorlesung bereits bewiesen habt, musst du hier nix weiter herleiten. Das ist dann einfach nur eine Anwendung der Formel.

Answer 2

Die dir aus der Vorlesung bekannte Formel ist falsch, denn für a<=1 strebt sie gegen Null und sonst gegen Unendlich.