Differenzfolge muss eine Nullfolge sein?

Question

Aufgabe:

Sei (a_n) _n∈ℕ eine Folge. Unter der Differenzfolge der Folge (a_n) verstehen wir die Folge

(b_n) _n∈ℕ mit b_n := a_n+1 − a_n für alle n ∈ ℕ.

Sei nun (an) eine konvergente Folge. Zeigen Sie nur unter Verwendung der Rechenregeln für konvergente Folgen, dass die Differenzfolge von (a_n) eine Nullfolge sein muss.

Problem/Ansatz:

Ich weiß nicht wie ich das zeigen soll:(

weil wenn das Cauchy-Kriterium erlaubt wäre, steht die Lösung ja schon fast in der Aufgabenstellung aber wir dürfen das Kriterium nicht verwenden.

lg

Answer 1

Es ist immer hilfreich bei solchen Sachen erstmal alles hinzuschreiben, was man schon aus der Aufgabenstellung annehmen darf, um auf die entsprechenden Definitionen (oder bereits bewiesenes) zurückzugreifen. Wir wissen, dass a_n eine konvergente Folge ist, d.h.,:

$$ \forall \ \epsilon'>0\ \exists N'\in \mathbb{N}: |a_n-a|<\epsilon',\quad \forall n\geq N'$$

Weniger spannender sieht das dann für a_n+1 genauso aus:

$$ \forall \ \epsilon''>0\ \exists N''\in \mathbb{N}: |a_{n+1}-a|<\epsilon'',\quad \forall n\geq N''$$

Es ist zu zeigen:

$$ \forall \ \epsilon>0\ \exists N\in \mathbb{N}: |a_{n+1}-a_n-0|=|a_{n+1}-a_n|<\epsilon,\quad \forall n\geq N$$

Versuche nun mit den obigen beiden Argumenten zu arbeiten, um das Unterste zu zeigen. Noch ein Hinweis: Bei solchen Sachen kann es nicht schaden, gewisse Variablen, durch bereits bekannte Werte zu definieren.

Edit: a ist der Wert, wogegen die Folge (a_n) konvergiert.