Bilinearform positiv definit

Question

ich soll zeigen, das die Bilinearform b: $$\mathbb{R}^{2}\text{x }\mathbb{R}^{2}\rightarrow\mathbb{R}$$

$$M_{b}^{ε_{2}}=\begin{pmatrix} 2 & 3 \\ 4 & 9 \end{pmatrix}$$ positiv definit ist.

Mein Ansatz wäre einen Vektor $$x\in\mathbb{R}^{2}$$ für den gilt

$$x^{T}*M_{b}^{ε_{2}}*x\gt 0$$

Jedoch weiß ich nicht, inwiefern ich die Bilinearform beachten muss.

Hat jemand einen besseren Ansatz?

Vielen dank schonmal im Voraus

Answer 1

Wähle \(x=\binom uv\in\mathbb R^2\). Es ist$$x^\top\cdot M\cdot x=(u\;v)\cdot\begin{pmatrix}2&3\\4&9\end{pmatrix}\cdot\binom uv=2u^2+7uv+9v^2=2\left(u+\tfrac74v\right)^2+\tfrac{23}8v^2\ge0.$$

Comments

Erstmal vielen Dank für die schnelle Antwort.

Genau da ist kein Problem.

Du sagst das dass größer gleich null ist.

Wie zeige ich aber nun dass es größer null ist?

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Die Summe zweier Quadrate ist genau dann gleich Null, wenn beide Summanden gleich Null sind, d.h. und u + 7/4v = 0 und v = 0. Dann muss aber auch u = 0 sein und damit ist x = 0.

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Vielen Dank!