Geometrie im Dreieck Abbildung konstruieren

Question

Aufgabe:

Gegeben einem Dreieck △pqr in A2 konstruieren wir eine Abbildung f: pq → pq der Seite pq wie folgt. 
Ist a ein Punkt auf der Strecke pq, dann schneidet die Gerade a+⟨qr⟩ die Seite pr in einem Punkt a1. 
Die Gerade a1 +⟨pq⟩ schneidet die Strecke qr wiederum in einem Punkt a2 und die Gerade a2 +⟨pr⟩ die Seite pq schließlich in einem Punkt f(a)
Zz.: 1) Für jeden Punkt a gilt f²(a)= a
       2) Ist a der Mittelpunkt der Strecke pq, gilt sogar f(a)= a.

Hinweis: Setzen Sie a = p+λ·pq und f(a)= p+µ·pq mit Skalaren λ,µ ∈R. 
Welcher Zusammenhang besteht zwischen λ und µ?

Problem/Ansatz:

Ich habe mir folgendes überlegt:

a = p+λ·pq

a1 = p+λ·pq + λ₁·qr

a2= p+λ·pq + λ₁·qr + λ₂·pq

f(a) = p+λ·pq+  λ₁·qr + λ₂·pq +  λ₃·rp

Wie komme ich nun auf f(a)= p+µ·pq ?
In der Zeichnung sieht es so aus, als ob λ+λ₂=1
Was bringt mir dies?

für f²(a) = a habe ich mir folgendes überlegt: (in meiner Zeichnung entstehen analog zu oben noch die Punkt a1´, a2´

Außerdem kenne ich aus der Vorlesung den Satz von Thales.

Daher folgere ich für die Aufgabe:

(p:f(a):a) = α    -> <aa1> = α < f(a) a1´>

(q:a:f(a)) = β    -> <f(a)a2> = β <aa2´>

(r:a2:a2´) = γ   -> <a1´a2´> = γ <a1a2>

Kann ich dies für die Berechnung verwenden?

Vielen lieben Dank für die Mühe und Hilfe :)

Die verzweifelte Lisl

Answer 1

Hallo Lisl,

Ich unterstelle mal, die Zeichnung, die Dir vorliegt, sieht in etwa so aus:

Ich habe mir folgendes überlegt:
a = p+λ·pq
a1 = p+λ·pq + λ1·qr

Der Ansatz ist schon mal richtig. Nun ist es aber so, dass man $\lambda_1$ nicht frei wählen kann, sondern $\lambda_1$ soll ja genau so groß sein, dass $a_2$ auf der Seite $pr$ liegt. Dafür beschränke ich mich im folgenden auf die Seiten $pq$ und $pr$. Die Seite $qr$ ergibt sich daraus:$$qr = pr - pq$$Das $qr$ ersetze ich nun in der Gleichung für $a_1$:$$a_1 = p+\lambda \cdot pq + \lambda_1 \cdot (pr - pq) = p +(\lambda - \lambda_1)pq + \lambda_1 \cdot pr$$Mit der Forderung, dass $a_1$ auf der Seite $qr$ liegt, folgt, dass $a_1$ die Form $a_1 = p + t \cdot pr$ mit $t \in \mathbb{R}$ haben muss. Daraus folgt, dass der Faktor vor $pq$ gleich 0 sein muss! Also ist$$\lambda - \lambda_1 = 0 \implies \lambda_1=\lambda$$Demnach ist$$a_1 = p + \lambda \cdot pr$$Und jetzt gehe ich genauso weiter wie Du in Deinem Ansatz:$$a_2 = a_1 + \lambda_2 \cdot pq = p + \lambda \cdot pr + \lambda_2 \cdot pq$$Wieder ist das $\lambda_2$ nicht frei wählbar. $a_2$ soll auf der Seite $qr$ liegen. Also gilt auch$$a_2 = q + t \cdot qr = p + pq + t(pr - pq) = p + t \cdot pr + (1-t)pq$$Vergleicht man dies mit der vorhergehenden Gleichung für $a_2$ so folgt daraus, dass $$\lambda_2 = 1 - \lambda$$ sein muss. In jedem andern Fall läge $a_2$ nicht auf $qr$. Also ist $$a_2 = p + \lambda \cdot pr + (1-\lambda) pq$$Weiter geht's mit $f(a)$:$$f(a) = a_2 + \lambda_3 \cdot rp$$Nun  ist $rp= - pr$ und man kann schreiben:$$f(a) = p + \lambda \cdot pr + (1-\lambda) pq - \lambda_3 \cdot pr = p + (\lambda -\lambda_3) pr + (1- \lambda) pq$$und aus der Forderung, dass $f(a)$ auf der Seite $pq$ liegt, also die Form $f(a) = p + t \cdot pq$ hat, folgt wie oben:$$\lambda - \lambda_3 = 0 \implies \lambda_3 = \lambda$$Das Ergebnis lautet also:$$f(a) = p + \mu \cdot pq = p + (1-\lambda) pq \quad \text{mit} \quad a = p + \lambda \cdot pq \\ \implies \mu = 1 - \lambda$$$f^2(a)$ ist nun leicht zu berechnen:$$f^2(a) = f^2(\lambda) = p + (1- (1- \lambda)) \cdot pq = p + \lambda \cdot pq = a$$

Comments

Super

Vielen lieben Dank, das war sehr hilfreich

Eine Frage hab ich noch:

Wie kommst du auf f² ?

Ich dachte wir gehen so vor:

f² (a) = f(a) + (1-λ) pq - μ pr = p +  (1-λ) pq +  (1-λ) pq - μ pr

... = a???

Wie komme ich auf (1-(1-λ))??

Vielen Dank

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Wie komme ich auf (1-(1-λ))??

.. die Frage hatte ich befürchtet. Ich tue mich etwas schwer, das zu erklären. Ein Versuch:

Die Funktion $f(a)$ bildet $a$ auf einen Punkt $f(a)$ ab. Formal:$$a \to f(a)$$Lt. Definition von $a$ und obigen Ergebnis für $f(a)$ ist das$$p + \lambda \cdot pq \to p + (1-\lambda) \cdot pq$$Betrachte ich nur das $\lambda$, so wird dies wie folgt abgebildet:$$\lambda \to 1 - \lambda$$und dies mache ich zweimal hintereinander. also setze das Ergebnis $1-\lambda$ wieder vorne ein$$1-\lambda \to 1 - (1-\lambda) = \lambda$$Geometrisch ist das leichter zu erklären. Die Abbildung $a \to f(a)$ ist eine Spiegelung an der Mittelsenkrechten von $pq$ und eine zweimalige Spiegelung am gleichen Spiegel gibt wieder das Urbild.

Falls noch was unklar ist, so frage ruhig nochmal nach.

Gruß Werner

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Hallo Werner,

 
ich sitze mal wieder eine Geometrie-Aufgabe Und habe keine Ahnung wie ich an diese Aufgabe heran gehen soll... :-/

Sie lautet wie folgt:

Sei H eine Hyperebene in An, p ∈An \H und q das Bild von p unter der Reflektion an H. 
1) z.z. die Gerade Lp,q schneidet die Hyperebene H in genau einem Punkt r 
2) z.z. r hat unter allen Punkten in H den minimalen Abstand zu p d.h. d(p,t)≤ d(p,r) für t ∈ H, dann auch t = r

Was ich weiß:

Definition einer Reflektion:
Sei H ⊂An eine affine Hyperebene, d.h. dimH = n−1 und (p0,...,pn) ∈ERep(n) mit p0,...,pn−1 ∈H, pn ∉H. 
Dann ist RH : An →An, die Reflektion an der affinen Hyperebene H, diejenige Bewegung, welche (p0,...,pn−1,pn) auf das eindeutig bestimmte euklidsche Repère (p0,...,pn−1,q) mit p0q = −p0pn überführt. 
Insbesondere ist RH|H = IdH, und die bezüglich des Repères (p0,...,pn) gegebene affin-lineare Abbildung ist [RH] = (Einheitsmatrix mit -1 an der Stelle (n,n) )



Reflektion ist orientierungsumkehrend und Translation orientierungserhaltend
zu Translation wüsste ich:
- Zu zwei Punkten A, B gibt es höchstens eine Translation, bei der A auf B abgebildet wird.



Zu einer Geradenspiegelung weiß ich:
Ist σg eine Geradenspiegelung und α eine beliebige Kongruenztransformation, so ist ασgα−1 die Geradenspiegelung an der Geraden α(g). 
Beweis: Ist X ∈ α(g), so existiert ein Y ∈ g mit X = α(Y), und es folgt ασgα−1(X) = ασg(Y) = α(Y) = X, d.h. α(g) ist Fixpunktgerade, ασgα−1 ist axiale Affinität. Da in der Gruppe B jede von der identischen Abbildung verschiedene axiale Affinität eine Geradenspiegelung ist, folgt die Behauptung. 
Insbesondere gilt, falls α eine Geradenspiegelung σh ist: σσh(g) = σhσgσh, also ist σh(g) = k gleichbedeutend mit σhσgσh = σk 
bzw. mit σhσg = σkσh, es besteht die Äquivalenz σa(b) = c ⇐⇒ σaσb = σcσa für beliebige Geraden a,b,c

Gilt g ⊥ h, so ist g∩h ein Punkt.
g ⊥ h und g 6= h hat zur Folge, daß h in der Affinitätsrichtung von σg liegt. Da σg involutorisch ist, kann es keine Scherung sein, die Affinitätsrichtung ist von der Achsenrichtung verschieden, h und g sind nicht parallel

zur Ebenenspiegelung:
Ebene - Gerade: g ⊥ ε :⇐⇒ σε(g) = g und g∩ε ≠ g





Meine Überlegungen:

1)

Ich weiß, dass eine Gerade, die nicht parallel zu einer Hyperebene ist, diese in genau einem Punkt schneidet.
Beweis: Wähle Gerade L  und Hyperebene H, die nicht parallel sind.
Nun schneidet L die uneigentliche Hyperebene Hunendl. in einem Punkt, der nicht in H∩Hunendl. liegt.
L und H müssen sich in einem Punkt P schneiden. Da sie sich nicht in Hunendl. treffen, muss P in A sein

Aber wie kann ich dies mit meiner Definition von Reflektion beweisen?

2) 
                                  ↓Dreiecksungl.↓
 d(p,t) = d(T(p),T(t))      ≤   d(T(p),T(r)) + d(T(r),T(t))  =  d(p,r) + d(r,t)
    nun ist z.z d(r,t) = 0, d.h. r = t

                                                                    ↓↓wie kommen wir darauf??
    d(r,t) = d(T(r),T(t)) = | T(r) - T(t) | = | r-t |      =      0 ⇒ r = t 


Oh je, das war jetzt wohl etwas viel ^^
Vielleicht kannst du mir helfen??

Ich bekomme leider von keinem hilfreiche Tipps https://www.mathelounge.de/637925/reflektion-schneidet-hyperebene-sc…

Vielen Dank schon einmal im Voraus für deine Antwort
sonnige Grüße Lisl

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Hallo Lisl,

Du hättest vielleicht noch den Link auf die Frage hinzufügen sollen ... aber Tante Google hat das gleich gefunden ;-)

Gedulde Dich ein wenig. Ich gucke am WE mal, was ich machen kann.