Geometrie im Dreieck Abbildung konstruieren

Question

Aufgabe:

Gegeben einem Dreieck △pqr in A2 konstruieren wir eine Abbildung f: pq → pq der Seite pq wie folgt. 
Ist a ein Punkt auf der Strecke pq, dann schneidet die Gerade a+⟨qr⟩ die Seite pr in einem Punkt a1. 
Die Gerade a1 +⟨pq⟩ schneidet die Strecke qr wiederum in einem Punkt a2 und die Gerade a2 +⟨pr⟩ die Seite pq schließlich in einem Punkt f(a)
Zz.: 1) Für jeden Punkt a gilt f²(a)= a
       2) Ist a der Mittelpunkt der Strecke pq, gilt sogar f(a)= a.

Hinweis: Setzen Sie a = p+λ·pq und f(a)= p+µ·pq mit Skalaren λ,µ ∈R. 
Welcher Zusammenhang besteht zwischen λ und µ?

Problem/Ansatz:

Ich habe mir folgendes überlegt:

a = p+λ·pq

a1 = p+λ·pq + λ₁·qr

a2= p+λ·pq + λ₁·qr + λ₂·pq

f(a) = p+λ·pq+  λ₁·qr + λ₂·pq +  λ₃·rp

Wie komme ich nun auf f(a)= p+µ·pq ?
In der Zeichnung sieht es so aus, als ob λ+λ₂=1
Was bringt mir dies?

für f²(a) = a habe ich mir folgendes überlegt: (in meiner Zeichnung entstehen analog zu oben noch die Punkt a1´, a2´

Außerdem kenne ich aus der Vorlesung den Satz von Thales.

Daher folgere ich für die Aufgabe:

(p:f(a):a) = α    -> <aa1> = α < f(a) a1´>

(q:a:f(a)) = β    -> <f(a)a2> = β <aa2´>

(r:a2:a2´) = γ   -> <a1´a2´> = γ <a1a2>

Kann ich dies für die Berechnung verwenden?

Vielen lieben Dank für die Mühe und Hilfe :)

Die verzweifelte Lisl

Answer 1

Hallo Lisl,

Ich unterstelle mal, die Zeichnung, die Dir vorliegt, sieht in etwa so aus:

Ich habe mir folgendes überlegt:
a = p+λ·pq
a1 = p+λ·pq + λ1·qr

Der Ansatz ist schon mal richtig. Nun ist es aber so, dass man \(\lambda_1\) nicht frei wählen kann, sondern \(\lambda_1\) soll ja genau so groß sein, dass \(a_2\) auf der Seite \(pr\) liegt. Dafür beschränke ich mich im folgenden auf die Seiten \(pq\) und \(pr\). Die Seite \(qr\) ergibt sich daraus:$$qr = pr - pq $$Das \(qr\) ersetze ich nun in der Gleichung für \(a_1\):$$a_1 = p+\lambda \cdot pq + \lambda_1 \cdot (pr - pq) = p +(\lambda - \lambda_1)pq + \lambda_1 \cdot pr  $$Mit der Forderung, dass \(a_1\) auf der Seite \(qr\) liegt, folgt, dass \(a_1\) die Form \(a_1 = p + t \cdot pr\) mit \(t \in \mathbb{R}\) haben muss. Daraus folgt, dass der Faktor vor \(pq\) gleich 0 sein muss! Also ist$$\lambda - \lambda_1 = 0 \implies \lambda_1=\lambda$$Demnach ist$$a_1 = p + \lambda \cdot pr$$Und jetzt gehe ich genauso weiter wie Du in Deinem Ansatz:$$a_2 = a_1 + \lambda_2 \cdot pq = p + \lambda \cdot pr + \lambda_2 \cdot pq$$Wieder ist das \(\lambda_2\) nicht frei wählbar. \(a_2\) soll auf der Seite \(qr\) liegen. Also gilt auch$$a_2 = q + t \cdot qr = p + pq + t(pr - pq) = p +  t \cdot pr + (1-t)pq$$Vergleicht man dies mit der vorhergehenden Gleichung für \(a_2\) so folgt daraus, dass $$\lambda_2 = 1 - \lambda$$ sein muss. In jedem andern Fall läge \(a_2\) nicht auf \(qr\). Also ist $$a_2 = p + \lambda \cdot pr + (1-\lambda) pq$$Weiter geht's mit \(f(a)\):$$f(a) = a_2 + \lambda_3 \cdot rp$$Nun  ist \(rp= - pr\) und man kann schreiben:$$f(a) = p + \lambda \cdot pr + (1-\lambda) pq - \lambda_3 \cdot pr = p + (\lambda -\lambda_3) pr + (1- \lambda) pq$$und aus der Forderung, dass \(f(a)\) auf der Seite \(pq\) liegt, also die Form \(f(a) = p + t \cdot pq\) hat, folgt wie oben:$$\lambda - \lambda_3 = 0 \implies \lambda_3 = \lambda$$Das Ergebnis lautet also:$$f(a) = p + \mu \cdot pq = p + (1-\lambda) pq \quad \text{mit} \quad a = p + \lambda \cdot pq \\ \implies \mu = 1 - \lambda$$\(f^2(a)\) ist nun leicht zu berechnen:$$f^2(a) = f^2(\lambda) = p + (1- (1- \lambda)) \cdot pq = p + \lambda \cdot pq = a$$

Comments

Super

Vielen lieben Dank, das war sehr hilfreich

Eine Frage hab ich noch:

Wie kommst du auf f² ?

Ich dachte wir gehen so vor:

f² (a) = f(a) + (1-λ) pq - μ pr = p +  (1-λ) pq +  (1-λ) pq - μ pr

... = a???

Wie komme ich auf (1-(1-λ))??

Vielen Dank

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Wie komme ich auf (1-(1-λ))??

.. die Frage hatte ich befürchtet. Ich tue mich etwas schwer, das zu erklären. Ein Versuch:

Die Funktion \(f(a)\) bildet \(a\) auf einen Punkt \(f(a)\) ab. Formal:$$a \to f(a)$$Lt. Definition von \(a\) und obigen Ergebnis für \(f(a)\) ist das$$p + \lambda \cdot pq \to p + (1-\lambda) \cdot pq$$Betrachte ich nur das \(\lambda\), so wird dies wie folgt abgebildet:$$\lambda \to 1 - \lambda$$und dies mache ich zweimal hintereinander. also setze das Ergebnis \(1-\lambda\) wieder vorne ein$$1-\lambda \to 1 - (1-\lambda) = \lambda$$Geometrisch ist das leichter zu erklären. Die Abbildung \(a \to f(a)\) ist eine Spiegelung an der Mittelsenkrechten von \(pq\) und eine zweimalige Spiegelung am gleichen Spiegel gibt wieder das Urbild.

Falls noch was unklar ist, so frage ruhig nochmal nach.

Gruß Werner

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Hallo Werner,

 
ich sitze mal wieder eine Geometrie-Aufgabe Und habe keine Ahnung wie ich an diese Aufgabe heran gehen soll... :-/

Sie lautet wie folgt:

Sei H eine Hyperebene in An, p ∈An \H und q das Bild von p unter der Reflektion an H. 
1) z.z. die Gerade Lp,q schneidet die Hyperebene H in genau einem Punkt r 
2) z.z. r hat unter allen Punkten in H den minimalen Abstand zu p d.h. d(p,t)≤ d(p,r) für t ∈ H, dann auch t = r

Was ich weiß:

Definition einer Reflektion:
Sei H ⊂An eine affine Hyperebene, d.h. dimH = n−1 und (p0,...,pn) ∈ERep(n) mit p0,...,pn−1 ∈H, pn ∉H. 
Dann ist RH : An →An, die Reflektion an der affinen Hyperebene H, diejenige Bewegung, welche (p0,...,pn−1,pn) auf das eindeutig bestimmte euklidsche Repère (p0,...,pn−1,q) mit p0q = −p0pn überführt. 
Insbesondere ist RH|H = IdH, und die bezüglich des Repères (p0,...,pn) gegebene affin-lineare Abbildung ist [RH] = (Einheitsmatrix mit -1 an der Stelle (n,n) )



Reflektion ist orientierungsumkehrend und Translation orientierungserhaltend
zu Translation wüsste ich:
- Zu zwei Punkten A, B gibt es höchstens eine Translation, bei der A auf B abgebildet wird.



Zu einer Geradenspiegelung weiß ich:
Ist σg eine Geradenspiegelung und α eine beliebige Kongruenztransformation, so ist ασgα−1 die Geradenspiegelung an der Geraden α(g). 
Beweis: Ist X ∈ α(g), so existiert ein Y ∈ g mit X = α(Y), und es folgt ασgα−1(X) = ασg(Y) = α(Y) = X, d.h. α(g) ist Fixpunktgerade, ασgα−1 ist axiale Affinität. Da in der Gruppe B jede von der identischen Abbildung verschiedene axiale Affinität eine Geradenspiegelung ist, folgt die Behauptung. 
Insbesondere gilt, falls α eine Geradenspiegelung σh ist: σσh(g) = σhσgσh, also ist σh(g) = k gleichbedeutend mit σhσgσh = σk 
bzw. mit σhσg = σkσh, es besteht die Äquivalenz σa(b) = c ⇐⇒ σaσb = σcσa für beliebige Geraden a,b,c

Gilt g ⊥ h, so ist g∩h ein Punkt.
g ⊥ h und g 6= h hat zur Folge, daß h in der Affinitätsrichtung von σg liegt. Da σg involutorisch ist, kann es keine Scherung sein, die Affinitätsrichtung ist von der Achsenrichtung verschieden, h und g sind nicht parallel

zur Ebenenspiegelung:
Ebene - Gerade: g ⊥ ε :⇐⇒ σε(g) = g und g∩ε ≠ g





Meine Überlegungen:

1)

Ich weiß, dass eine Gerade, die nicht parallel zu einer Hyperebene ist, diese in genau einem Punkt schneidet.
Beweis: Wähle Gerade L  und Hyperebene H, die nicht parallel sind.
Nun schneidet L die uneigentliche Hyperebene Hunendl. in einem Punkt, der nicht in H∩Hunendl. liegt.
L und H müssen sich in einem Punkt P schneiden. Da sie sich nicht in Hunendl. treffen, muss P in A sein

Aber wie kann ich dies mit meiner Definition von Reflektion beweisen?

2) 
                                  ↓Dreiecksungl.↓
 d(p,t) = d(T(p),T(t))      ≤   d(T(p),T(r)) + d(T(r),T(t))  =  d(p,r) + d(r,t)
    nun ist z.z d(r,t) = 0, d.h. r = t

                                                                    ↓↓wie kommen wir darauf??
    d(r,t) = d(T(r),T(t)) = | T(r) - T(t) | = | r-t |      =      0 ⇒ r = t 


Oh je, das war jetzt wohl etwas viel ^^
Vielleicht kannst du mir helfen??

Ich bekomme leider von keinem hilfreiche Tipps https://www.mathelounge.de/637925/reflektion-schneidet-hyperebene-schnittpunkt-minimalsten

Vielen Dank schon einmal im Voraus für deine Antwort
sonnige Grüße Lisl

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Hallo Lisl,

Du hättest vielleicht noch den Link auf die Frage hinzufügen sollen ... aber Tante Google hat das gleich gefunden ;-)

Gedulde Dich ein wenig. Ich gucke am WE mal, was ich machen kann.