(a)
$$\left| ab \right| \le \frac { 1 }{ 2λ } { a }^{ 2 }+\frac { λ }{ 2 } { b }^{ 2 }$$
$$<=>\left| ab \right| \le \frac { 2a²+2(λb)² }{ 4λ }$$
$$<=>4λ\left| ab \right| \le 2a²+2(λb)²$$
$$<=>2λ\left| ab \right| \le a²+(λb)²$$
Fallunterscheidung zur Auflösung des Betrags:
Fall 1: \(ab\ge 0\) dann: \(\left| ab \right| =ab\) und
$$2λ\left| ab \right| \le a²+(λb)²$$
$$<=>2λab\le a²+(λb)²$$
Auf beiden Seiten 2 λ a b subtrahieren:
$$<=>a²-2aλb+(λb)²\ge 0$$
Zweite binomische Formel "rückwärts" anwenden:
$$<=>(a-λb)²\ge 0$$
Das aber gilt für alle x aus R, also auch für x = a - λ b
Fall 2: \(ab<0\) dann: \(\left| ab \right| =-ab\) und
$$2λ\left| ab \right| \le a²+(λb)²$$
$$<=>-2λab\le a²+(λb)²$$
Auf beiden Seiten 2 λ a b addieren:
$$<=>a²+2aλb+(λb)²\ge 0$$
Zweite binomische Formel "rückwärts" anwenden:
$$<=>(a+λb)²\ge 0$$
Das aber gilt für alle x aus R, also auch für x = a + λ b
(b)
$${ \left( a+b \right) }^{ 2 }\ge 4ab$$
Ausmultiplizieren:
$$<=>a²+2ab+b²\ge 4ab$$
Auf beiden Seiten 4ab subtrahieren:
$$<=>a²-2ab+b²\ge 0$$
Zweite binomische Formel "rückwärts" anwenden:
$$<=>(a-b)²\ge 0$$
Das aber gilt für alle x aus R, also auch für x = a - b
