a)
$$\frac { { x }^{ 2 }+2 }{ \sqrt { x²+1 } } \ge 2$$
Gleichung mit dem Nenner multiplizieren (kein Problem, da \(\sqrt { x²+1 }\) immer positiv ist:):
$$<=>x²+2\ge 2\sqrt { x²+1 }$$
Beide Seiten quadrieren (kein Problem, da beide Seiten für alle x aus R größer als 1 sind):
$$<=>{ (x²+2) }^{ 2 }\ge 4(x²+1)$$
Ausmultiplizieren:
$$<=>{ x }^{ 4 }+4x²+4\ge 4x²+4$$
Auf beiden Seiten \(4x²+4\) subtrahieren:
$$<=>{ x }^{ 4 }\ge 0$$
Das aber ist eine für alle x aus R wahre Aussage.
b)
$$\frac { 2 }{ \frac { 1 }{ x } +\frac { 1 }{ y } } \le \frac { x+y }{ 2 }$$
Nenner der Nennerbrüche gleichnamig machen und als gemeinsamen Bruch schreiben:
$$<=>\frac { 2 }{ \frac { x+y }{ xy } } \le \frac { x+y }{ 2 }$$
Man dividiert durch einen Buch, indem man mit dessen Kehrwert multipliziert:
$$<=>\frac { 2xy }{ x+y } \le \frac { x+y }{ 2 }$$
"überkreuz" mit den Nennern multiplizieren:
$$<=>4xy\le x²+2xy+y²$$
Auf beiden Seiten 4 x y subtrahieren:
$$<=>x²-2xy+y²\ge 0$$
Zweite binomische Formel "rückwärts" anwenden:
$$<=>(x-y)²\ge 0$$
Das aber ist immer wahr, denn jede Quadratzahl ist nichtnegativ.
c)
Zu zeigen: ( a + b ) ( a + c ) ( b + c ) ≥ 6 a b c
Da später durch a b c dividiert werden muss, ist zunächst der Fall von der weiteren Betrachtung auszuschließen, dass a b c = 0 ist, dass also mindestens eine der Variablen gleich Null ist. In diesem Fall wird die Ungleichung zu:
( a + b ) ( a + c ) ( b + c ) ≥ 0
Das aber ist trivial, denn da alle drei Faktoren nichtnegativ sind, ist auch ihr Produkt nichtnegativ. Wenn also mindestens eine der Variablen gleich Null ist, ist die Ungleichung erfüllt.
Zu zeigen ist also noch, dass die Ungleichung auch dann gilt, wenn a, b und c echt positiv sind:
( a + b ) ( a + c ) ( b + c ) ≥ 6 a b c
Ausmultiplizieren:
<=> a b c + a ² b + a c ² + a ² c + b ² c + b ² a + b c ² + a b c ≥ 8 a b c
Auf beiden Seiten 2 a b c subtrahieren:
<=> a ² b + a c ² + a ² c + b ² c + b ² a + b c ² ≥ 6 a b c
Durch a b c dividieren (da a, b und c echt positiv sind, bleibt die Richtung des Ungleichheitszeichens dabei erhalten und die entstehenden Brüche sind definiert):
<=> a / c + c / b + a / b + b / a + b / c + c / a ≥ 6
Umordnen:
<=> a / b + b / a + a / c + c / a + b / c + c / a ≥ 6
Nun gilt aber für alle positiven reellen Zahlen x und y: x / y + y / x ≥ 2, denn für solche Zahlen gilt:
x / y + y / x ≥ 2 <=> x ² + y ² ≥ 2 x y <=> x ² - 2 x y + y ² ≥ 0 <=> ( x - y ) ² ≥ 0
Das aber gilt, weil jede Quadratzahl nichtnegativ ist. Daher:
<=> ( a / b + b / a ) + ( a / c + c / a ) + ( b / c + c / a ) ≥ ( 2 ) + ( 2 ) + ( 2 ) = 6
