Ungleichung beweisen: (a+b)(b+c)(c+a)>=8abc mit a,b,c>=0

Question

Guten Morgen :)

Ich habe mir bis jetzt die N8 um die Ohren gehauen, finde aber einfach keinen Beweis für die Ungleichung:

(a+b)(b+c)(c+a)>=8abc für a,b,c>=0

Daher stelle ich die Aufgabe hier ein und hoffe auf Hilfe...

Answer 1

Aloha :)

Die 8 in der Ungleichung führt mich sofort auf eine Idee, die muss ich noch schnell ausprobieren. Die Idee ist die Ungleichung zwischen arithmetischem und geometrischem Mittel (die man erstaunlich oft nutzen kann). Allgemein gilt für \(x,y\ge0\):$$0\le\left(\sqrt x-\sqrt y\right)^2=x-2\sqrt{xy}+y\;\;\Rightarrow\;\;2\sqrt{xy}\le x+y\;\;\Rightarrow\;\;\frac{x+y}{2}\ge\sqrt{xy}$$Wenn du dir jetzt die zu zeigende Ungleichung ansiehst, fällt auf, dass man die 8 in Form von drei 2 unter die Faktoren ziehen kann:

$$(a+b)(b+c)(c+a)\ge8abc\;\;\Leftrightarrow\;\;\frac{(a+b)}{2}\frac{(b+c)}{2}\frac{(c+a)}{2}\ge abc$$Und die letzte Ungleichung ist nach den obigen Ausführungen sofort klar, denn:

$$\frac{(a+b)}{2}\frac{(b+c)}{2}\frac{(c+a)}{2}\ge\sqrt{ab}\cdot\sqrt{bc}\cdot\sqrt{ca}=\sqrt{a^2b^2c^2}=abc$$

Answer 2

Etwas umständlicher, aber letztendlich auch Standardungleichung benutzender Weg ist folgender:

Durch ausmultiplizieren der linken Seite erhält man

\(2abc +a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b\ge 8abc\).

Damit ist die Ungleichung äquivalent zu

\(a^2b+a^2c+b^2a+b^2c+c^2a+c^2b\ge 6abc\) und nach der (erlaubten) Division durch abc und dem Umsortieren der entstehenden Brüche   äquivalent zu

\((\frac{a}{b}+\frac{b}{a})+(\frac{a}{c}+\frac{c}{a})+(\frac{b}{c}+\frac{c}{b})\ge 6\)

Dass jede der drei Klammern größer oder gleich 2 ist (und damit die Ungleichung tatsächlich gilt) sollte zum Basiswissen gehören.