Gegeben: Halbwertszeit? Gesucht: %-Anzahl nach gewissem Zeitraum.

Question

Aufgabe:

Sr-90 hat eine Halbwertszeit von 28 Jahren. Wie viel Prozent des Ausgangsmaterials gibt es noch nach einem Jahrhundert?

Ansatz:

Habe einen möglichen Lösungsweg gefunden:

N(100J) = N0 * 2 ^ -100/28    |:N0

N(100)/N0 = 2 ^ -100/28 = 0,08411 ist rund 8,41% des Ausgangsmaterials vorhanden.

Leider verstehe ich nicht, wie man von der Formel:
N(Th)= N0 * e ^ (-Lamda*t) auf beschriebenen Lösungsweg kommt. Stellt die Zahl 2 das Verhältnis dar? Weil 0,5 ja die Hälfte des Ausgangsmaterials ist also nach 28 Jahren? Wieso hoch -100/28 und letztlich weshalb kommt man von 0,08411 auf 8,41?

Vielen Dank!

Answer 1

Da der Exponent negativ ist, steht die 2 eigentlich im Nenner, d.h. man halbiert den N_{0} Wert. Eine Halbierung tritt nach dem Vertreichen der Halbwertszeit auf. Diese beträgt 28 Jahre. Also hat man N_{0}/2^{t/28}. Jetzt nur noch für t 100 einsetzen und schon hat man den gesuchten Wert.

Comments

Danke für die schnelle Antwort, echt super! Eines noch: N_{0}/2^{t/28} - wieso steht da kein negativer Exponent mehr? Hast Du dich verschrieben oder wieso verschwindet der?

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Der exponent steht hier im Nenner also unter dem Bruchstrich. In deiner Ursprungsversion steht er im Zähler. Wenn ein Exponent vom Zähler in den Nenner wechselt dann wechselt auch das Vorzeichen des exponenten von minus zu plus oder umgedreht. So wollen es die Potenzgesetze.

Answer 2

N ( t ) = N0 * 0.5 ^( t )
Wachstumsfaktor 0.5
0.5 ^( 1 ) = 0.5
0.5 ^( 2 ) = 0.25 usw ...

1 Zeiteinheit = t / 28
t = 28 :  28 / 28 = 1
t = 56 : 56 / 28 = 2  usw

t in Jahren eingesetzt
N ( t ) = N0 * 0.5 ^( t / 28 )
z.B. nach 35 Jahren
N ( 35 ) = N0 * 0.5 ^(35/28)
N ( 35 ) =N0 + 0.4204
nach 35 Jahren sind 42.04 % von N0 vorhanden

Umwandlung in eine e-Funktion
0.5 ^ ( t/28 ) = e ^(λ*t) | ln
t/28 * ln (0,5) = λ*t
1/28 * ln (0,5) = λ
λ = -0.0244

N ( t ) = N0 * e ^(-0.0244*t)

N ( 35 ) = N0 * e ^(-0.0244*35)
N ( 35 ) = N0 * e ^(-0.854)
N ( 35 ) = N0 * 0.4206

Frage nach bis alles klar ist.

Comments

Super danke Dir! Könntest Du mir noch bitte erklären, wie Du vorgehen würdest, wenn die Halbwertszeit gegeben ist z.B. mit 1600 Jahren und gefragt ist, wann nur noch 1/16 des Materials vorhanden ist?

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Das will ich gerne für dich tun.
Es gibt verschiedene Herangehensweisen

1/16 = 1/2 ^4
N ( t ) = N0 * 0.5 ^( 4 Zeitspannen )
N ( t ) / N0 = 0.5 ^( 4 Zeitspannen )
1 / 16 = 0.5 ^( 4 Zeitspannen )
1 Zeitspanne = 1600
4 Zeitspannen = 6400 jahre

Ebenso ( allgemeiner )
N ( t ) = N0 * 0.5 ^( 4 Zeitspannen )
N ( t ) = N0 * 0.5 ^( t/1600 )
N ( t ) / N0 = 0.5 ^( t/1600 )
1/16 = 0.5 ^( t/1600 ) | ln
ln(1/16) = t/1600 * ln(0.5)
t /1600 = ln(1/16) / ln (0.5 )
t = 6400 Jahre

Oder wie bei Zerfallsvorgängen üblich als
e-Funktion