Aufgabe: Ich habe folgende Aufgabe berechnet:
$$x^{3} \cdot y^{\prime}+\left(2-3 x^{2}\right) \cdot y=x^{3}$$
Problem/Ansatz:
$$ x^{3} \cdot y^{\prime}+\left(2-3 x^{2}\right)=x^{3} \\ y^{\prime}+\frac{\left(2-3 x^{2}\right)}{x^{3}} y=1 \\ y^{\prime}+a(x) y=s(x) $$
1) Homogene Lösung:
$$\begin{array}{l}{y^{\prime}+\frac{\left(2-3 x^{2}\right)}{x^{3}} y=0} \\ {y^{\prime}+\left(\frac{2}{x^{3}}-\frac{3}{x}\right) y=0} \\ {y^{\prime}=-\left(\frac{2}{x^{3}}-\frac{3}{x}\right) y} \\ {\frac{d y}{d x}=-\left(\frac{2}{x^{3}}-\frac{3}{x}\right) y}\end{array} \\ \begin{array}{l}{\int \frac{1}{y} d y=\int-\left(\frac{2}{x^{3}}-\frac{3}{x}\right) d x} \\ {\ln |y|=-\int\left(\frac{2}{x^{3}}-\frac{3}{x}\right) d x} \\ {\ln |y|=-2 \int x^{-3} d x+3 \int \frac{1}{x} d x} \\ {\ln |y|=3 \ln |x|+c+\frac{1}{x^{2}}} \\ {y=e^{\ln \left|x^{3}\right|+c} \cdot e^{x^{-2}}} \\ {y=x^{3} \cdot e^{x} \cdot e^{x^{-2}}} \\ {y=k \cdot x^{3} \cdot e^{x^{-2}}}\end{array}$$
Ist der Ansatz soweit richtig?
