Flächeninhalt eines aufgespannten Parallelograms durch Vektoren

Question

Aufgabe:

Gegeben seien die Vektoren x = (−2, 1, 1)> und y = (2, 0, −2)>. Berechnen Sie den
Flächeninhalt des von x und y aufgespannten Parallelogramms.

Bestimmen Sie einen Vektor z ∈ R^3
, der orthogonal zu x und y ist, und
berechenen Sie das Volumen des von x, y und z aufgespannten Parallelotops.

Problem/Ansatz:

Answer 1

Bilde einfach das Kreuzprodukt (Vektorprodukt) von x und y.

Das gibt

-2
-2
-2

Das ist das gesuchte z für Teil b) und dessen Betrag,

also √(4+4+4) = √12 ist der Flächeninhalt .

b) s.o.  und das Volumen bekommst du mit dem Spatprodukt.

Musst also nur noch rechnen  z*z = 12 und hast das Volumen.

Kannst du auch über V = G*h begründen.

Das G ist das Ergebnis von a) und weil z senkrecht auf der

Grundfläche steht ist seine Länge die Höhe.

Also  V =√12 * √12  = 12

Answer 2

z = [-2, 1, 1] ⨯ [2, 0, -2] = [-2, -2, -2]

A = |z| = 2·√3 = 3.464

V = z^2 = 12