Es sei I ein Intervall und f : I → R stetig. Zeigen Sie dass die folgenden Aussagen äquivalent sind.
(I) f ist streng monoton.
(II) f ist invertierbar (d.h. es gibt eine Funktion g : f(I) → I mit f ◦ g(y) = y für y ∈ f(I) und g ◦ f(x) = x für x ∈ I).
Ansatz:
(I) ⇒ (II):
Streng monotone Funktionen sind stets injektiv, sie nehmen also jeden Wert nur höchstens einmal an. Ist f : I → R streng monoton und I ein Intervall und I′ := f(I) die Bildmenge, so ist f : I → I′ bijektiv. Daher existiert für streng monotone Funktionen auch immer die Umkehrfunktion.
Doch wie zeige ich (II) ⇒ (I)?
Könnte mir jemand bei der Lösung helfen?
