Differentialgleichung 1. Ordnung lösen: y' + 2y = 4e5x

Question

Aufgabe:

$$y ^ { \prime } + 2 y = 4 e ^ { 5 x }$$

→ lineare inhomogene DGL

1) homogene Lösung:

$\left. \begin{array} { l } { y ^ { \prime } + 2 y = 0 } \\ { y ^ { \prime } = - 2 y } \\ { \frac { d y } { d x } = - 2 y } \\ { d y = - 2 y d x } \\ { \frac { 1 } { - 2 y } d y = \int 1 d x } \end{array} \right.$

$\left. \begin{array}{l}{ \frac { - 1 } { 2 } \int \frac { 1 } { y } d y = x + C }\\{ \frac { - 1 } { 2 } \operatorname { ln } | y | = x + c }\\{ \operatorname { ln } | y | = - 2 x - 2 c }\\{ y = e ^ { - 2 x } \cdot e ^ { - 2 c } }\\{ y = k \cdot e ^ { - 2 c } }\end{array} \right.$

2) Partikulare Lösung:

$\left. \begin{array} { l } { y = K ( x ) \cdot e ^ { - 2 x } } \\ { y ^ { \prime } = K ^ { \prime } ( x ) \cdot e ^ { - 2 x } + K ( x ) \cdot e ^ { - 2 x } \cdot ( - 2 ) } \end{array} \right.$

$\left. \begin{array} { l } { K ^ { \prime } ( x ) \cdot e ^ { - 2 x } + K ( x ) \cdot e ^ { - 2 x } \cdot ( - 2 ) + 2 ( K ( x ) \cdot e ^ { - 2 x } ) = 4 e ^ { 5 x } } \\ { K ^ { \prime } ( x ) \cdot e ^ { - 2 x } = 4 e ^ { 5 x } } \end{array} \right.$

$\left. \begin{array}{l}{ K ^ { \prime } ( x ) = 4 e ^ { 5 x } \cdot e ^ { 2 x } }\\{ K ^ { \prime } ( x ) = 4 e ^ { 7 x } }\\{ K ( x ) = \int 4 e ^ { 7 x } d x }\end{array} \right.$

$\left. \begin{array} { l } { K ( x ) = 4 \int e ^ { 7 x } d x } \\ { K ( x ) = 4 \cdot e ^ { 7 x } \cdot 7 } \\ { K ( x ) = 28 e ^ { 7 x } } \\ { \text { Daraus folgt: } } \\ { y = K ( x ) \cdot e ^ { - 2 x } } \\ { y = 28 e ^ { 7 x } \cdot e ^ { - 2 x } } \\ { y = 28 e ^ { 5 x } } \end{array} \right.$

Problem/Ansatz:

Meine endgültige Lösung stimmt nun gar nicht mit der Lösung überein, ich kann jedoch meinen Fehler nicht finden. Kann mir da jemand helfen?

Comments

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Answer 1

Du hast das Integral 4 e^(7x) falsch berechnet.

richtige Lösung:

=4/7 e^(7x)

Comments

danke!

noch eine kurze Frage...sind die 4/7 e^5x dann das Endergebnis oder nur die partikuläre Lösung, also müsste ich noch die K*e^-2x(homogene Lösung) addieren?

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Es gilt:y_p= K(x) *e^(-2x)

K(x)=4/7 *e^(7x)

y_p= 4/7 *e^(5x)

y=y_h+y_p