Aufgabe:
$$y ^ { \prime } + 2 y = 4 e ^ { 5 x }$$
→ lineare inhomogene DGL
1) homogene Lösung:
\( \left. \begin{array} { l } { y ^ { \prime } + 2 y = 0 } \\ { y ^ { \prime } = - 2 y } \\ { \frac { d y } { d x } = - 2 y } \\ { d y = - 2 y d x } \\ { \frac { 1 } { - 2 y } d y = \int 1 d x } \end{array} \right. \)
\( \left. \begin{array}{l}{ \frac { - 1 } { 2 } \int \frac { 1 } { y } d y = x + C }\\{ \frac { - 1 } { 2 } \operatorname { ln } | y | = x + c }\\{ \operatorname { ln } | y | = - 2 x - 2 c }\\{ y = e ^ { - 2 x } \cdot e ^ { - 2 c } }\\{ y = k \cdot e ^ { - 2 c } }\end{array} \right. \)
2) Partikulare Lösung:
\( \left. \begin{array} { l } { y = K ( x ) \cdot e ^ { - 2 x } } \\ { y ^ { \prime } = K ^ { \prime } ( x ) \cdot e ^ { - 2 x } + K ( x ) \cdot e ^ { - 2 x } \cdot ( - 2 ) } \end{array} \right. \)
\( \left. \begin{array} { l } { K ^ { \prime } ( x ) \cdot e ^ { - 2 x } + K ( x ) \cdot e ^ { - 2 x } \cdot ( - 2 ) + 2 ( K ( x ) \cdot e ^ { - 2 x } ) = 4 e ^ { 5 x } } \\ { K ^ { \prime } ( x ) \cdot e ^ { - 2 x } = 4 e ^ { 5 x } } \end{array} \right. \)
\( \left. \begin{array}{l}{ K ^ { \prime } ( x ) = 4 e ^ { 5 x } \cdot e ^ { 2 x } }\\{ K ^ { \prime } ( x ) = 4 e ^ { 7 x } }\\{ K ( x ) = \int 4 e ^ { 7 x } d x }\end{array} \right. \)
\( \left. \begin{array} { l } { K ( x ) = 4 \int e ^ { 7 x } d x } \\ { K ( x ) = 4 \cdot e ^ { 7 x } \cdot 7 } \\ { K ( x ) = 28 e ^ { 7 x } } \\ { \text { Daraus folgt: } } \\ { y = K ( x ) \cdot e ^ { - 2 x } } \\ { y = 28 e ^ { 7 x } \cdot e ^ { - 2 x } } \\ { y = 28 e ^ { 5 x } } \end{array} \right. \)
Problem/Ansatz:
Meine endgültige Lösung stimmt nun gar nicht mit der Lösung überein, ich kann jedoch meinen Fehler nicht finden. Kann mir da jemand helfen?
