Partielle Ableitung 1. und 2. Ordnung von f(x,y,z)=z*x²/y

Question

Folgende Funktion soll nach 1. und 2. Ordnung abgeleitet werden. Außerdem soll überprüft werden, dass die gemischten Ableitungen gleich sind.

$$ f(x,y,z) = \frac{z·x^2}{y} $$

Bin etwas verwirrt, weil ich nicht weiß wie man hier die Qutientenregel einsetzt.

Comments

Man kan 1/y auch als y^-1 .

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Würde es gerne mit der Quotientenregel lösen, aber bin mir nicht sicher ob ich sie richtig angewendet habe

also hab sie jetzt nach x aufeglöst: df/dx= ((z*2x)y - 0 * y(z*x^2)) / y^2

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Die Kettenregel muss man auch noch verwenden.

Answer 1

Bilden wir erstmal die partiellen ersten Ableitungen. Hierbei wird nur die eine ausgesuchte Variable differenziert. Die restlichen Variablen sieht man als Konstanten an:

df/dx = 2*x*z/y = f_x               (1)

df/dy = -x²*z/y² = f_y               (2)

df/dz = x²/y = f_z                    (3)

Wenn man die rechte Seite der Gleichung (1) nach y weiter ableitet, bekommt man:

d²f/(dx*dy) = -2*x*z/y² = f_xy

Wenn man die rechte Seite der Gleichung (2) nach x weiter ableitet, bekommt man:

d²f/(dy*dx) = -2*x*z/y² = f_yx

Man sieht dass diese gemischten, partiellen 2. Ableitungen gleich sind: f_xy = f_yx

Nun weiter mit f_zx und f_xz, ob dies den selben Ausdruck liefert:

f_zx = 2*x/y und f_xz = 2*x/y -> Ausdrücke sind identisch

Zum Schluss Identität von f_yz und f_zy prüfen:

f_yz = -x²/y² und f_zy = -x²/y² -> Ausdrücke sind auch hier indentisch.

Wenn ich alle gemischten patiellen 2. Ableitungen gefunden haben sollte, sind die so ermittelten Ableitungen alle gleich.