Aloha :)
Partielle Ableitungen tauchen nur dann auf, wenn eine Funktion von mehreren Variablen abhängt. In deinem Fall sind es die Variablen \(x_1\) und \(x_2\). Beim partiellen Ableiten nimmt man sich genau eine dieser Variablen vor und tut so, als wären alle anderen Variablen konstante Zahlen.
$$f(x_1,x_2)=x_1\cdot x_2$$
$$\frac{\partial f}{\partial x_1}=\frac{\partial}{\partial x_1}\left(\underbrace{x_1}_{variabel}\cdot\underbrace{x_2}_{konstant}\right)=x_2$$$$\frac{\partial f}{\partial x_2}=\frac{\partial}{\partial x_2}\left(\underbrace{x_1}_{konstant}\cdot\underbrace{x_2}_{variabel}\right)=x_1$$
Die zweiten partiellen Ableitungen bekommst du, wenn du die ersten partiellen nochmal ableitest:
$$\frac{\partial^2f}{\partial x_1\partial x_1}=\frac{\partial}{\partial x_1}\left(\frac{\partial f}{\partial x_1}\right)=\frac{\partial}{\partial x_1}\left(\underbrace{x_2}_{konstant}\right)=0$$
$$\frac{\partial^2f}{\partial x_2\partial x_1}=\frac{\partial}{\partial x_2}\left(\frac{\partial f}{\partial x_1}\right)=\frac{\partial}{\partial x_2}\left(\underbrace{x_2}_{variabel}\right)=1$$
$$\frac{\partial^2f}{\partial x_1\partial x_2}=\frac{\partial}{\partial x_1}\left(\frac{\partial f}{\partial x_2}\right)=\frac{\partial}{\partial x_1}\left(\underbrace{x_1}_{variabel}\right)=1$$
$$\frac{\partial^2f}{\partial x_2\partial x_2}=\frac{\partial}{\partial x_2}\left(\frac{\partial f}{\partial x_2}\right)=\frac{\partial}{\partial x_2}\left(\underbrace{x_1}_{konstant}\right)=0$$
