Maximaler senkrechte Abstand d zweier Funktionsgraphen

Question

Der Graph Gf und p(x) schließen eine Fläche vollständig ein. Es existiert eine Stelle x, an der der senkrechte Abstand d der Graphen Gf und Gp innerhalb dieser Fläche am größsten ist. Bestimmen Sie die Stelle x und geben Sie den maximalen Abstand an.

Ich habe zwei Funktionen gegeben: p(x) = -2(x^2+2x-8), Gf= -1/4*(x^3+6x^2-32)

Ich habe die Funktionen gleichgesetzt:

1/4x^3 - 3/2x^2 + 8 = -2x^2 - 4x + 16 | + 2x^2

-1/4 x^3 +1/2x^2+8 = -4x+16 | +4x

-1/4 x^3 + 1/2 x^2 +4x+8 = 16 | -16

-1/4 x^3 + 1/2 x^2 + 4x - 8

Ableitungen: d' (u) = -3/4 x^2 + x +4 - Nullstellen: -1.737; 3.07

                     d'' (u) = 3/2x + 1

                     d''' (u) = 3/2

Extremwert berechnen: d'' (-1.737) = 3/2 * (-1.737) + 1 = -1.6055

                                      d'' (3.07) = 3/2 * 3.07 + 1 = 5.605

                                      d (-1.737) = -1/4 * (-1.737)^3 + 1/2 * (-1.737)^2  + 4* (-1.737) - 8

                                      d (3.07)    = -1/4 * (3.07)^3 + 1/2 * (3.07)^2 + 4*(3.07) - 8

Comments

Und deine Frage?

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Sicher, dass du den maximalen Abstand suchst?

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@racine_carrée

Gute Anmerkung.

Ich glaube nach meiner Erfahrung hier inzwischen gelernt zu haben, dass mind. 50% der Fragesteller nicht in der Lage sind eine Aufgabe vollständig und richtig wiederzugeben OHNE ein Foto zu machen.

Answer 1

Der Graph Gf und p(x) schließen eine Fläche vollständig ein. Es existiert eine Stelle x, an der der senkrechte Abstand d der Graphen Gf und Gp innerhalb dieser Fläche am größsten ist. Bestimmen Sie die Stelle x und geben Sie den maximalen Abstand an.

p(x) = - 2·(x^2 + 2·x - 8) = - 2·x^2 - 4·x + 16

g(x) = - 1/4·(x^3 + 6·x^2 - 32) = - 0.25·x^3 - 1.5·x^2 + 8

d(x) = g(x) - p(x) = - 0.25·x^3 + 0.5·x^2 + 4·x - 8 = 0 --> x = -4 ∨ x = 2 ∨ x = 4

d'(x) = - 0.75·x^2 + x + 4 = - 0.75·x^2 + x + 4 = 0 --> x = -1.737 ∨ x = 3.070

d(-1.737) = -12.13

d(3.070) = 1.759

Der größte Vertikale abstand innerhalb der eingeschlossenen Flächen beträgt 12.13 LE.

SKIZZE

~plot~ -2(x^2+2x-8);-1/4(x^3+6x^2-32);[[-6|6|-40|20]] ~plot~

Comments

Hallo iwanttobe,
p(x) = -2(x^2+2x-8)
Gf ( x )= -1/4 (x^3 + 6x^2 - 32 )
p = Gf
x = -4, 2, 4

p(x) = -2x^2 - 4x + 8
Gf ( x )= -1/4 *x^3 - 1.4*x^2 + 8

d ( x ) = p minus Gf
d ( x ) = 1/4*x^3 - 1/2*x^2 - 4*x + 8
d ´ ( x ) = 3/4*x^2 - x - 4
Stellen mit waagerechter Tangente
3/4*x^2 - x - 4  = 0
Mitternachtsformel, quadr.Ergänzung, pq-Formel
x = -1.74
Differenz 12.13
Soviel zunächst.

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Die Aufgabenstellung lautet folgendermaßen: Der Graph Gf und p(x) schließen EINE Fläche vollständig ein.

Laut meiner Skizze, die ich jetzt in der Original Antwort verbessert habe schließen die Graphen sogar ZWEI Flächen ein.

Eine im Intervall [-4; 2] und eine im Intervall [2; 4].

Wenn die Funktionen jetzt richtig sind wie von mir angegeben, ist immerhin nur noch die Aufgabenstellung falsch.

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Nach diversen Richtigstellungen des Fragestellers habe ich meine obige Antwort verbessert und unnötige Kommentare ausgeblendet.

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@Mathecoach: Kannst du bitte (falls sinnvoll) noch die Fragestellung berichtigen / ergänzen und dann die Markierung entfernen. Danke.

Answer 2

Wo wird die Differenzfunktion d(x)=2(x²+2x-32) - ( -1/4 (x³+6x²-32) ) = 1/4(x³+14x²+16x-288) extremal?

f '(x)= 1/4(3x²+28x+16). Die Gleichung 3x²+28x+16=0 hat die ungefähren Lösungen: x₁≈-0,6115 und x₂≈-8,7218.  

Comments

p(x) = -2(x^2+2x-32) g(x)=  -1/4 (x^3+6x^2-32)

und dann folgendes berechnet:
P ( a| -2(x^2+2x-32)

G ( a| -1/4 (x^3+14x^2+6x^2-32)

= | 1/4 (a^3 +6a^2-32) - 2 (-a^2+2a-32)|

Wie fasse ich das jetzt zusammen?

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Klammern auflösen (Faktor in die Klammer multiplizieren).

Sortieren und gleiche Potenzen von a zusammenfassen.

Ergebnis -1/4(a³+14a²+16a-288)  stand schon da, alledings mit x statt a und anderem Vorzeichen. Das ist aber egal.

Answer 3

Hallo iwanttobe,
p(x) = -2(x2+2x-8)
Gf ( x )= -1/4 (x3 + 6x2 - 32 )
p = Gf
x = -4, 2, 4

p(x) = -2x2 - 4x + 8
Gf ( x )= -1/4 *x3 - 1.4*x2 + 8


d ( x ) = p minus Gf
d ( x ) = 1/4*x3 - 1/2*x2 - 4*x + 8
d ´ ( x ) = 3/4*x2 - x - 4
Stellen mit waagerechter Tangente
3/4*x2 - x - 4  = 0
Mitternachtsformel, quadr.Ergänzung, pq-Formel
x = -1.74
Differenz 12.13
Soviel zunächst.