Beispiele für einen/keinen Automorphismus

Question

Aufgabe:

Sei V = K². Geben Sie je ein Beispiel für ein f aus End_k(V) an, dass weder nilpotent noch ein Automorphismus ist und für das gilt:

i)  f = f²  (So eine Abbildung heisst Projektor oder idempotent)

ii) f ≠ f² 

iii) Gibt es ein f wie in (ii), für das f² = f³ oder f = f³  gilt.

Problem/Ansatz:

An sich verstehe ich was nilpotent und Automorphismus bedeutet. Es fällt mir auch nicht schwer Beispiele zu nicht nilpotente Matrizen zu finden. Wie genau allerdings eine Matrix auszusehen hat, wenn diese ein/kein Automorphismus sein soll, weiß ich jedoch nicht.

Also bei der i) könnte man vielleicht eine Einheitsmatrix als Beispiel nehmen denn diese ist nicht nilpotent und erfühlt die Bedingung f = f^2. Woher weiß ich aber ob das jetzt ein Automorphismus ist?

Answer 1

bei der i) könnte man vielleicht eine Einheitsmatrix als Beispiel nehmen denn diese ist nicht nilpotent und erfühlt die Bedingung f = f2. Woher weiß ich aber ob das jetzt ein Automorphismus ist?

Ein Automorphismus ist ein bijektiver Homomorphismus, also geht es mit der Einheitsmatrix

nicht.

Damit es nicht bijektiv ist, muss die Matrix rang<2 haben. Probiere mal

 1     0
 0     0

ist nicht bijektiv , nicht nilpotent aber f^2 = f.

und für den 2. Fall (über einem Körper mit char > 2 ) nimm einfach -1

statt 1.