Kombinatorik Beispiele unverständlich

Question

Aufgabe: Kombinatorik Beispiel

Problem/Ansatz:

Ich habe 3 Aufgaben die ich nicht verstehe.

1. Ein Code soll aus 12 Zeichen bestehen. Jeder Buchstabe und jede Ziffer darf mehrmals verwendet werden und es wird zwischen Groß- und Kleinschreibung unterschieden. Weiters stehen 4 Sonderzeichen zur Verfügung. Wie viele Codewörter können gebildet werden.

2. Um eine Maschine zu starten, müssen 10 Schalter richtig eingestellt sein. Jeder Schalter kann 2 Positionen haben.

a) Berechne die Anzahle der Möglichkeiten, die Schalter falsch einzustellen.

b) Berechne die Anzahle der Möglichkeiten, die Schalter richtig einzustellen.

3. Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus einem Fragenkatalog mit 100 Fragen für einen Test 3 Fragen auszuwählen?

Ich habe jede Mögliche Formel der Kombinatorik versucht sprich: Permutation, Kombination, Variation aber keines dieser Formeln bringt mich annähernd auf ein Ergebnis (Taschenrechner sagt: Overflow Error) deshalb bin ich mir sicher dass ich irgendwas falsch mache.

Answer 1

1. (26*2+4+10)^12

2.

a) Keiner falsch: (10über0), einer falsch (10über1), zwei falsch (10über2) usw.

b) wie a)

3. (100über3) = 161700

Comments

Überdenke die Antwort für 2. eventuell noch einmal.

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ebenso die Antwort zu 1. (Ziffern!)

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Danke. Habs ediert. Was soll bei 2) falsch sein?

Answer 2

1)

Es gibt verschiedene Zählweisen:

26 Buchstaben – ä, ö, ü und ß werden nicht mitgezählt.
30 Buchstaben – ä, ö, ü und ß werden mitgezählt.
27 Buchstaben – ß wird als Buchstabe mitgezählt, ä, ö, ü nicht.

Mit Unterscheidung zwischen Groß- und Kleinschreibung also entweder 52, 60 oder 54 Buchstaben + jeweils der vier Sonderzeichen. Die Ziffern sollte man natürlich auch dazuzählen (Danke Roland).

Also entweder \((2\cdot 26+10+4)^{12}\) oder \((2\cdot 27+10+4)^{12}\) oder \((2\cdot 30+10+4)^{12}\)

2)

a) Für jeden Schalter gibt es zwei mögliche Einstellungen, eine Konstellation ist aber richtig, diese muss abgezogen werden. Insgesamt \(2^{10}-1\)

b) Eine Möglichkeit (?), ansonsten ist die Aufgabe unklar gestellt.

3)

\(\begin{pmatrix} 100\\3 \end{pmatrix}\)

Comments

1)

Das deutsche Alphabet hat 26 lateinische Buchstaben und 4 Umlaute. Beide sowohl in Groß- als auch Kleinschreibung. Dazu kommen 10 Ziffern und 4 Sonderzeichen.
Damit komme ich im gesamten auf 74 benutzbare Zeichen.

Oft wird in den Musterlösungen in Mathebüchern von 26 Buchstaben ausgegangen.

2)

Ich denke mit einer Möglichkeit bei 2. b) liegst du völlig richtig. Die richtigen und falschen Schaltereinstellungen müssen sich ja zur Gesamtanzahl der Schalterstellungen addieren.

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1) Entsprechend angepasst.

2) Genau, trotzdem ist das eine eigene Interpretation, dass nur eine Schalter-Konstellation die Maschine startet. Hier ist die Aufgabenstellung zu ungenau.

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Um eine Maschine zu starten, müssen 10 Schalter richtig eingestellt sein

Um die Maschine zu starten müssen alle 10 Schalter richtig eingestellt sein. So steht das exakt in der Aufgabenstellung.

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"Alle 10 Schalter müssen richtig eingestellt sein" ⇒ "Es gibt nur eine richtige Schalterstellung"?

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Der erste Schalter muss also z.B. richtig eingestellt sein. Wenn er 2 Positionen hat ist es vermutlich logisch, dass die zweite Schalterstellung falsch ist und nicht beide Schalterstellungen richtig sind oder?

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Die Aufgabe enthält kein Richtigkeitskriterium. Eines wäre z. B.:

Richtig <=> Nur geradzahlige Schalter werden umgelegt.

         oder  Nur ungradzahlige Schalter werden umgelegt

         oder ...

Es geht um das Prinzip. Selbstverständlich ist die Interpration, wie in meiner Antwort, die einleuchtendste, aber auf jeden Fall nicht die einzige.

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Richtig <=> Nur geradzahlige Schalter werden umgelegt.

Was wäre jetzt mit den ungeraden Schaltern? Ist es egal wie die stehen oder dürfen die nicht umgelegt werden.

Ob ein Schalter umgelegt werden muss oder nicht ist sowieso von der Anfangsposition abhängig und daher eher verwirrend.

Denke dir also einfach das es für jeden Schalter 2 Stellungen geben kann dann können wir die Schalterstellung durch eine 10 stellige Binäre Zahl schreiben.

0000000000

Und bei welcher/welchen Kombination(en) soll jetzt die Maschine laufen. Bei einer oder mehreren?

Answer 3

1. Ein Code soll aus 12 Zeichen bestehen. Jeder Buchstabe und jede Ziffer darf mehrmals verwendet werden und es wird zwischen Groß- und Kleinschreibung unterschieden. Weiters stehen 4 Sonderzeichen zur Verfügung. Wie viele Codewörter können gebildet werden.

Das deutsche Alphabet hat 26 lateinische Buchstaben und 4 Umlaute. Beide sowohl in Groß- als auch Kleinschreibung. Dazu kommen 10 Ziffern und 4 Sonderzeichen. Damit komme ich im gesamten auf 74 benutzbare Zeichen. Oft wird in den Musterlösungen in Mathebüchern von 26 Buchstaben ausgegangen.

74^12 = 26.96·10^21

2. Um eine Maschine zu starten, müssen 10 Schalter richtig eingestellt sein. Jeder Schalter kann 2 Positionen haben.

a) Berechne die Anzahle der Möglichkeiten, die Schalter falsch einzustellen.

b) Berechne die Anzahle der Möglichkeiten, die Schalter richtig einzustellen.

a) 2^10 - 1 = 1023

b) 1

3. Wie viele Möglichkeiten gibt es, aus einem Fragenkatalog mit 100 Fragen für einen Test 3 Fragen auszuwählen?

(100 über 3) = 100 * 99 * 98 / 6 = 161700