Addition ganzer Zahlen, Definition - Beispiele?

Question

Hi!

Es geht um ganze Zahlen und der Addition innerhalb dieser.

Es gilt a, b, c, d ∈ ℕ.

Die eigentliche Definition der Addition lautet hier ja eigentlich: [(a, b)] + [(c, d)] = [(a + c, b + d)].

Nun könnte man ja auch statt dieser, alternative Definitionen vornehmen, wie bspw.:

1) Ist b = c, so definiert man [(a, b)] + [(c, d)] := [(a, d)]

2) Ist b < c, so ist [(a, b)] = [(a + c − b, c)]

und [(a + c − b, c)] + [(c, d)] = [(a + c − b, d)] nach obigem.

3) Ist b > c, so ist [(c, d)] = [(b, d + b − c)]

und [(a, b)] + [(b, d + b − c)] = [(a, d + b − c)] nach obigem.

Diese Definitionen verstehe ich aber leider nicht so ganz. Wäre super wenn mir jemand Beispiele für die einzelnen Definitionen geben könnte, die das ganze etwas mehr veranschaulichen.

Für jede Hilfe wäre ich dankbar!

Lg

Answer 1

Hallo

irgend etwas fehlt, erst redest du nur von der Addition von ganzen Zahlen, danach plötzlich über die Edition von Zahlenpaaren aus natürlichen Zahlen?

dann steht da:"Die eigentliche Definition der Addition lautet hier ja eigentlich: [(a, b)] + [(c, d)] = [(a + c, b + d)]."

habt ihr das so definiert? es ist unüblich.

dann die neuen Definitionen b=c also z.B, (5,3)+(3,7)=(5,7)

dann b<c also z.B, (5,2)+(7,6)= (5+(7-5),7=(10,7)

b>c  also z.B (5,7)+(2,6)=(5,6+(7-2))=(5,11)

Das sind einfach Rechenregeln die so definiert sind, natürlich sind sie sehr gewöhnungsbedürftig, d.h wenn man anfangs so rechnet sollte man die Regeln immer sehen,

Du kannst jetzt beliebige Paare addieren und musst nur darauf achten ob der zweite Eintrag der ersten gleich kleiner oder größer dem ersten Beitrag des zweiten Paares ist

Auffällig ist, dass diese Addition nicht kommutativ ist also (a,b)+(c,d)≠(c,d)+(a,b)

aber selber irgendwelche Zahlen in die Paare einsetzen und dann addieren solltest du eigentlich können

Comments

Vielen Dank für die ausführliche Antwort! Jetzt kann ich mir das ganze schon besser vorstellen.

Jedoch frage ich mich noch, wieso genau auch mittels dieser alternativen Definitionen die Gleichung [(a, b)] + [(c, d)] = [(a + c, b + d)] gilt. Gibt es dafür eine Erklärung?