Flächenberechnung - n(x) und Gp(x)

Question

Nachtrag: Etwas mehr zur Fragestellung: Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche, die von der Normalen n aus 3.1.3 und dem Graphen Gf vollständig begrenzt wird. Normale n (x) = 1/3 x + 8 und G, Gf (x) = (x^3+2x^2) / (x^2-4) Kopie aus Kommentar. 

(x^3  + 2x^2          ) : (x^2 - 4)  =  x + 2  Rest  4x + 8 
x^3          + 4x   
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        2x^2  + 4x   
        2x^2        - 8
        ———————————————
                4x  + 8

Flächenberechnung zwischen Gp und n(x) = 1/3x+8

Dafür muss ich beide gleichsetzen, wie mache ich das, wenn ein Rest vorhanden ist?

x + 2  Rest  4x + 8  = 1/3x+8 

Muss ich das dann auf- oder- ableiten?

Comments

Ja. Benutze auch http://www.arndt-bruenner.de/mathe/scripts/polynomdivision.htm

(x^3  + 2x^2          ) : (x^2 - 4)  =  x + 2  Rest  4x + 8 
x^3          - 4x   
——————————————————————
        2x^2  + 4x   
        2x^2        - 8
        ———————————————
                4x  + 8

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Bist du sicher, dass diese Polynomdivision dich irgendwie weiterbringt?

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Ich dachte, die Polynomdivision würde mir weiterhelfen, weil es ja ursprünglich eine gebrochenrationale Funktion war und ich die Form der Funktion verändern muss, damit ich beide Gleichungen gleichsetzen kann und damit den Flächeninhalt ausrechnen kann.

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Es wäre vermutlich einfacher zwei Funktionen auf den gleichen Nenner zu bringen und dann zu subtrahieren.

Es bringt immer wesentlich mehr, wenn du die original Aufgabenstellung aufschreibst.

So hast du jetzt zwei Fragen zur gleichen Aufgabe gestellt und bist trotzdem keinen Schritt weiter... Das ist doch nicht sehr effektiv oder?

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Bestimmen Sie den Inhalt der Fläche, die von der Normalen n aus 3.1.3 und dem Graphen Gf vollständig begrenzt wird. Normale n (x) = 1/3 x + 8 und G, Gf (x) = (x^3+2x^2) / (x^2-4)

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iwan, du hast verschwiegen, dass der orthogonale Schnittpunkt von Gf und n bereits aus einem vorherigen Aufgabenteil bekannt sein müsste. So etwas kann man doch nicht als "vollständig" bezeichnen!

Answer 1

Ok. Da macht Polynomdivision schon Sinn.

d(x) = (1/3·x + 8) - (x^3 + 2·x^2)/(x^2 - 4)

d(x) = (1/3·x + 8) - (x + 2 + 4/(x - 2))

d(x) = - 2/3·x + 6 - 4/(x - 2) 

d(x) = 0 → x = 3 ∨ x = 8

D(x) = - x^2/3 + 6·x - 4·LN(x - 2)

∫ (3 bis 8) d(x) dx = D(8) - D(3) = 80/3 - 4·LN(6) - 15 = 35/3 - 4·LN(6) = 4.499628789

Comments

(1/3·x + 8) - (x + 2 + 4/(x - 2))

d(x) = - 2/3·x + 6 - 4/(x - 2) 

Wie kommst du darauf?

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(1/3·x + 8) - (x + 2 + 4/(x - 2))

= 1/3·x + 8 - x - 2 - 4/(x - 2)

= 1/3·x - x + 8 - 2 - 4/(x - 2)

= -2/3·x + 6 - 4/(x - 2)

So klarer?

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d(x) = (1/3·x + 8) - (x3 + 2·x2)/(x2 - 4)

d(x) = (1/3·x + 8) - (x + 2 + 4/(x - 2))

Ja und wie kommst du auf die zweite Zeile?

Und was bedeutet dieses LN?

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Polynomdivision

(x^3 + 2x^2) / (x^2 - 4)

= x + 2 + (4x + 8)/(x^2 - 4)

Klammer im Zähler 4 aus und faktorisiere den Nenner gemäß binomischer Formel

= x + 2 + 4(x + 2)/((x + 2)(x - 2))

Man sieht das man (x + 2) kürzen kann und macht das

= x + 2 + 4/(x - 2)

Denke immer daran wenn möglich Terme zu vereinfachen. Dann lässt es sich leichter rechnen.

4/(x - 2) integriert ergibt 4·LN(x - 2)

Du weißt eventuell das 1/x integriert LN(x) ergibt. LN() ist dabei der natürliche Logarithmus.

Answer 2

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(x^3  + 2x^2          ) : (x^2 - 4)  =  x + 2  Rest  4x + 8 
x^3          - 4x   
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        2x^2  + 4x   
        2x^2        - 8
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                4x  + 8