Kugelstoßen - Analysis

Question

Aufgabe:

ich habe eine Hausaufgabe aufbekommen und bräuchte Hilfe:

Die Bahn einer Kugel beim Kugelstoßen ist parabelförmig. Eine Kugel wird aus einer Höhe von 1,80m unter einem Winkel von 42grad gegen die Horizontale abgestoßen. Die Stoßweite beträgt 8,40m.

Bestimmen Sie mit diesen Angaben die Gleichung der Modellfunktion. Wie groß ist die maximale Höhe der Flugbahn? In welchem Winkel trifft die Kugel auf den Boden auf?

(Sollten Sie mit den gegebenen Daten keine Funktion aufstellen können, können Sie den Abstoßpunkt in den Ursprung verlagern.)

Problem/Ansatz:

Ich habe keine Ahnung wie die Aufgabe funktionieren soll. Danke

Answer 1

f ( x ) = a * x^2 + b * x + c
f ´( x ) = 2a * x + b

Am Abstosspunkt ist die Höhe 1.80 m
f(0) = 1.8

Der Abstosswinkel ist 42 °
Die Steigung = 1.Ableitung
Tangens des Steigungswinkels
f'(0) = TAN(42°) = 0.9

Die Stossweite ist 8.40 und die Höhe dort 0 m
f(8.4) = 0

Einsetzen
f ( 0 ) = a * 0^2 + b * 0 + c = 1.8 m = > c = 1.8 m

f ( x ) = a * x^2 + b * x + 1.8
f ´( x ) = 2a * x + b
f ´( 0 ) = 2a * 0 + b = 0.9  => b = 0.9

f ( x ) = a * x^2 + 0.9 * x + 1.8
f ( 8.4 ) = a * (8.4)^2 + 0.9 * 8.4 + 1.8 = 0
a * (8.4)^2 + 0.9 * 8.4 + 1.8 = 0
a = -0.1327

f ( x ) = -0.1327 * x^2 + 0.9 * x + 1.8

Comments

vielen dank, jetzt ist mir klar woher die Zahlen

und welche Formel muss man für Aufgabe B) nutzen? denn mir ist nicht ganz bewusst, woher die 13/49 kommen..

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13/49 fehlt bei mir als Angabe für etwas

Ich nehme an dies ist B.)
Wie groß ist die maximale Höhe der Flugbahn?
f ( x ) = -0.1327 * x^2 + 0.9 * x + 1.8
Eine Möglichkeit ist die Berechnung der Nullpunkte.
x= -1.62
x = 8.40
Die Mitte zwischen beiden
x = 3.39 m
ist der Scheitelpunkt.Dort ist der höchste Punkt
f ( 3.39) = ???

In welchem Winkel trifft die Kugel auf den Boden auf?
f ´( x ) = -0.2654 * x + 0.9
f ´( 8.4 ) = -1.329
tan ( alpha ) = -1.329
arcatan (-1.329 ) = -53.05 ° = 126.95 °

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und woher stammt bei aufgabe c die 126,95°? bzw. weswegen muss man das mit -tan (Umkehrfunktion) ausrechnen ? danke im voraus

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Winkel werden offiziell vom Schnittpunkt
Kurve / x-Achse GEGEN den Uhrzeigersinn
abgelesen.

alpha = 126.95 °  ( x plus | y plus )
Die 2.mögliche Winkelangabe wäre 180- 126.95 = 53.05
Die 3.Winkelangabe wäre 360 - 53.05 = 306.95 °.
Die 4.Winkelangabe wäre - 53.05 °

Manche Taschenrechner zeigen den einen oder den
anderen Wert an.

mein Taschenrechner zeigt
arctan (-1.329 ) = -53.05 °
entspricht einer mathematisch korrekten Angabe von
126.95 °

Anzeigen
tan ( -53.05 ° ) = -1.329
tan ( 126.95 ) = -1.329

Answer 2

a) Bestimmen Sie mit diesen Angaben die Gleichung der Modellfunktion.

Die Bedingungen

f(0) = 1.8
f'(0) = TAN(42°) = 0.9
f(8.4) = 0

Das Gleichungssystem

c = 9/5
b = 9/10
1764/25·a + 42/5·b + c = 0

Die Modellfunktion

f(x) = -13/98·x^2 + 9/10·x + 9/5

b) Wie groß ist die maximale Höhe der Flugbahn?

f'(x) = 9/10 - 13/49·x = 0 → x = 441/130
f(441/130) = 8649/2600 = 3.327 m

c) In welchem Winkel trifft die Kugel auf den Boden auf?

f'(8.4) = - 93/70 → α = arctan(-93/70) = -53.03°

Comments

Ich bedanke mich für deine große Hilfe.

ich wollte dich fragen, wie du darauf kommst, dass f(0)=1.8 ist und man die Ableitung f'(0)=TAN (42) benutzen muss.

bzw. wie nennt man die Themen?

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Eine Kugel wird aus einer Höhe von 1,80m

Wenn der Abstoß bei x = 0 passiert was meist so ist, muss die Höhe dort 1.8 sein. Das kann man also direkt der Aufgabenstellung entnehmen.

unter einem Winkel von 42grad gegen die Horizontale abgestoßen.

Der Anstieg hier sind 42 Grad. Steigung und der TAN vom Steigungswinkel sind im Steigungsdreieeck allerdingt beide als Gegenkathete durch Ankathete definiert. Daher setzt man die Steigung oder die erste Ableitung gleich dem Tangens vom Steigungswinkel.

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vielen dank, jetzt ist mir klar woher die Zahlen

und welche Formel muss man für Aufgabe B) nutzen? denn mir ist nicht ganz bewusst, woher die 13/49 kommen..

ich bedanke mich im voraus!